μια παλιά συναρτησιακή με ερωτήματα

parmenides51 · #1

Μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f\left(f(x)-f(y)\right)=f\left(f(x)\right)-y}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y \in\mathbb{R} }$ .
Α) Να δείξετε ότι:
i) $\displaystyle{f(0)=0}$
ii) η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$
iii) η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή
iv) η $\displaystyle{f}$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{\mathbb{R}}$
v) $\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in\mathbb{R} }$
B) Αν η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη, τότε η $\displaystyle{f}$ είναι κάποια από τις συναρτήσεις $\displaystyle{x}$ , $\displaystyle{-x}$ .

Η σειρά των ερωτημάτων δεν είναι δεσμευτική.

#2

i)
Για

είναι $f(f(0))=f(0) \ (*).$

Για x=y=f(0)

είναι $\displaystyle{f(0)=f(f(f(0)))-f(0) \stackrel{(*)}{\implies} 2f(0)=f(f(0))\stackrel{(*)}{\implies} 2f(0)=f(0)\implies f(0)=0.}$

ii)
Για x=y

είναι $f(f(x))=x \ (**) ,$ δηλαδή ενελικτική.

Το 1-1 είναι τώρα άμεσο από τον ορισμό.

iii)
Για x:=0, y:=f(y)

είναι, λόγω της (**),

για κάθε $y\in \Bbb{R},$ δηλαδή περιττή.

iv)
Για να συμβαίνει αυτό, πρέπει για κάθε

η εξίσωση

να έχει λύση ως προς

Πράγματι, ένα τέτοιο

είναι το

v)
Για $x:=f(x), \ y:=f(-y)$ έχουμε $\displaystyle{f(f(f(x))-f(f(-y)))=f(f(f(x)))-f(-y)}$ ή $\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}$ αξιοποιώντας την περιττή συμμετρία και την (**).

Β)

--Έστω ότι η

είναι γν. αύξουσα.

Αν υπάρχει

με $f(g)\ne g$ τότε θα είναι f(g)>g

ή

Η πρώτη περίπτωση δίνει $f(g)>g\implies f(f(g))>f(g)\implies g>f(g)$ , άτοπο

ενώ η δεύτερη $f(g)<g\implies f(f(g))<f(g)\implies g<f(g)$ , επίσης άτοπο.

Συνεπώς, για κάθε

έχουμε

--Έστω ότι η

είναι γν. φθίνουσα.

Αν υπάρχει

με $f(g)\ne -g$ τότε θα είναι f(g)>-g

ή

Η πρώτη περίπτωση δίνει $f(g)>-g\implies f(f(g))<f(-g)\implies g<-f(g)\implies f(g)<-g$ , άτοπο

ενώ η δεύτερη $f(g)<-g\implies f(f(g))>f(-g)\implies g>-f(g)\implies f(g)>-g$ , επίσης άτοπο.

Συνεπώς, για κάθε

έχουμε

parmenides51 · #3

ευχαριστώ

, τι άλλο να πει κανείς όταν προτείνει συναρτησιακή και την λύνει ο socrates

ας αφήσουμε χρόνο να δούμε κι άλλες ιδέες, αλλάζοντας την σειρά των ερωτημάτων

η πηγή θα δοθεί μετά

parmenides51 · #4

Μια και πέρασε αρκετός χρόνος ας συμπληρώσω πως η άσκηση προέρχεται από το παλιό mathematica, προτάθηκε το Α ερώτημα από τον Μπάμπη Στέργιου και το Β ερώτημα από την Μαργαρίτα Βαρελά. Συνημμένα παραθέτω τις δοθείσες λύσεις τότε.

μια παλιά συναρτησιακή με ερωτήματα

μια παλιά συναρτησιακή με ερωτήματα

Re: μια παλιά συναρτησιακή με ερωτήματα

Re: μια παλιά συναρτησιακή με ερωτήματα

Re: μια παλιά συναρτησιακή με ερωτήματα

Μέλη σε σύνδεση