Μια απλή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (x+y) f(x) + f(y^2) = (x+y) f(y) + f(x^2) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=493686

BAGGP93 · #2

Ας είναι

η αρχική ισότητα

Η (1)

για $y\rightarrow 0$ δίνει

$\displaystyle{f(x^2)=xf(x)+f(0)(1-x)\ \forall x\in\mathbb{R}}$

Η (1)

για $y\rightarrow 1$ δίνει

$\displaystyle{(x+1)f(x)+f(1)=(x+1)f(1)+f(x^2)\Rightarrow f(x^2)=(x+1)f(x)-xf(1)\ \forall x\in\mathbb{R}}$

Από τις δύο σχέσεις που προέκυψαν συμπεραίνουμε ότι

$\displaystyle{xf(x)+f(0)-xf(0)=xf(x)+f(x)-xf(1)\Rightarrow f(x)=(f(1)-f(0))x+f(0),x\in\mathbb{R}$ που ικανοποιεί

Πράγματι, $\forall x,y\in\mathbb{R}$ είναι

$\displaystyle{(x+y)f(x)+f(y^2)=(x+y)(ax+b)+(ay^2+b)=ax^2+bx+axy+by+ay^2+b$

$\displaystyle{(x+y)f(y)+f(x^2)=(x+y)(ay+b)+(ax^2+b)=axy+bx+ay^2+by+ax^2+bx=ax^2+bx+axy+by+ay^2+b$

όπου $\displaystyle{a=f(1)-f(0),b=f(0)}$

#3

Μια απλή

Μια απλή

Re: Μια απλή

Re: Μια απλή

Μέλη σε σύνδεση