Μια γρήγορη

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις γνήσια αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f^{2}(x) = x^{2},$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

BAGGP93 · #2

Είναι

$f^2(x)-x^2=0\Leftrightarrow (f(x)-x)(f(x)+x)=0\Leftrightarrow f(x)=x\ \lor f(x)=-x$

Ωστόσο οι συναρτήσεις που αναζητούμε είναι γνήσια αύξουσες και άρα f(x)=x

nikoszan · #3

... $\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = {x^2}:\left( 1 \right)}$
Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ για $\displaystyle{x = 0}$ έχουμε $\displaystyle{{f^2}\left( 0 \right) = {0^2} \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 0}$ .
Για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ έχουμε $\displaystyle{x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) \Rightarrow f\left( x \right) > 0}$ και για κάθε $\displaystyle{x < 0}$ έχουμε $\displaystyle{x < 0 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 0 \right) \Rightarrow f\left( x \right) < 0}$ .Επομένως για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ είναι $\displaystyle{xf\left( x \right) \ge 0}$ .Απο την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ και επειδή ισχύει $\displaystyle{xf\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R}$ έπεται ότι $\displaystyle{f\left( x \right) = x,x \in R}$ ,που ικανοποιεί την υπόθεση .
Ν.Ζ.

#4

Κάποιες σκέψεις.
Για την συνάρτηση που ζητάμε έχει καλώς.
Όμως η $f:\Re \to \Re$ με ${f^2}(x) = {x^2}$ , για κάθε $x \in \Re$ θα μπορούσε να είναι:
1) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - |x|,\,x \in ( - \infty ,1)\\ x,\,x \in [1, + \infty ) \end{array} \right.$

Εδώ η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.

2) f(x) = - |x|

που είναι συνεχής.

Προφανώς και στις 2 περιπτώσεις δεν αποτελεί λύση αλλά απλώς ισχύει:
${f^2}(x) = {x^2}$ , για κάθε $x \in \Re$

#5

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=176914

parmenides51 · #6

BAGGP93 έγραψε: $(f(x)-x)(f(x)+x)=0\Leftrightarrow f(x)=x\ \lor f(x)=-x$

το παραπάνω βήμα είναι λανθασμένο

δυο συναρτήσεις μπορεί να έχουν μηδενικό γινόμενο χωρίς να είναι καμία μηδενική

πχ. $\displaystyle{f\left(x \right)=\left\{\begin{matrix} 0 & x<5\\ 1 & x\ge 5 \end{matrix}\right.}, g\left(x \right)=\left\{\begin{matrix} 3 & x<5\\ 0 & x\ge 5 \end{matrix}\right.} }$

edit 1: Μια παρόμοια παρανόηση βρίσκεται εδώ
edit 2: Δες και το άρθρο του Μπάμπη εδώ (σελίδες 2,3)

BAGGP93 · #7

Ευχαριστώ

Μια γρήγορη

Μια γρήγορη

Re: Μια γρήγορη

Re: Μια γρήγορη

Re: Μια γρήγορη

Re: Μια γρήγορη

Re: Μια γρήγορη

Re: Μια γρήγορη

Μέλη σε σύνδεση