Έχει λύση

#1

Αν η συνάρτηση $f:\Re \to \Re$ είναι συνεχής στο $\Re$ και f(f(0)) = 0

, να δειχθεί ότι ή εξίσωση f(x) = x

έχει τουλάχιστον μια λύση.

Νίκος

#2

Αν δε συμβαίνει αυτό, τότε $f(x)\ne x,$ για κάθε

δηλαδή $f(x)-x\ne 0,$ για κάθε

Συνεπώς, λόγω συνέχειας, είτε f(x)>x

για κάθε

είτε

για κάθε

Ας δούμε την πρώτη περίπτωση. Η δεύτερη είναι ανάλογη.

Είναι $(x:=0) \ f(0)>0$ ενώ $(x:=f(0)) \ f(f(0))>f(0)$ δηλαδή 0>f(0)

άτοπο.

#3

Και λίγο διαφορετικά:

Αν $\displaystyle{f(0)=0,}$ το $\displaystyle{0}$ είναι ρίζα της ζητούμενης εξίσωσης.

Αν $\displaystyle{f(0)>0,}$

η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)-x}$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{[0,f(0)]}$ και ισχύει

$\displaystyle{g(0)g(f(0))=-(f(0))^2<0,}$

άρα το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Bolzano.

Ομοίως, αν $\displaystyle{f(0)<0.}$

#4

Ευχαριστώ.
Πολύ ωραίες λύσεις
Θα συμπληρώσω μόνο εποπτικά στην λύση του κ. Μάγκου την περίπτωση που f(0) = a < 0

.

Φιλικά Νίκος

Έχει λύση

Έχει λύση

Re: Έχει λύση

Re: Έχει λύση

Re: Έχει λύση

Μέλη σε σύνδεση