Συναρτησιακή με παράμετρο

#1

Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου

υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(\sin x) + af(\cos x) = \cos 2x,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(\sin x) + af(\cos x) = \cos 2x,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Για οποιοδήποτε $\displaystyle{a\ne 1}$ μια συνάρτηση που ικανοποιεί τη συναρτησιακή είναι η

$\displaystyle{f(t)=\frac{1-2t^2}{1-a}.}$

Αν $\displaystyle{a=1,}$ δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Πράγματι, αν

$\displaystyle{f(\sin x)+f(\cos x)=\cos 2x, \forall x}$

θέτοντας $\displaystyle{x\to \frac{\pi}{2}-x}$ προκύπτει

$\displaystyle{f(\sin x)+f(\cos x)=-\cos 2x, \forall x.}$

Από τις δύο τελευταίες προκύπτει $\displaystyle{\cos 2x=-\cos 2x, \forall x,}$ άτοπο.

Συναρτησιακή με παράμετρο

Συναρτησιακή με παράμετρο

Re: Συναρτησιακή με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση