Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Κυρ Ιούλ 28, 2013 7:23 pm

5 ωραίες περιπτώσεις

1)
Έστω f,g:\mathbb  R\rightarrow \mathbb  R δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε x\in \mathbb R να ισχύει:
abf^2(x)+(a+b)g(x)+abx=0 , a,b\in \mathbb  R^* και a+b\neq 0. Αν η C_f τέμνει τον άξονα x'x σε δύο σημεία A,B εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων, να δείξετε ότι η C_g τέμνει τον x'x σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των A και B

2)
Έστω f:[a,b]\rightarrow  \mathbb R συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων A,B της C_f υπάρχει σημείο C της C_f τέτοιο ώστε AC=BC

3)
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [a,b]. Έστω ότι τα σημεία A(a,f(a)) και B(b,f(b)) της C_{f} ορίζουν ευθεία AB που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και ότι η AB δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη C_{f}.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία C,D της C_{f} με CD παράλληλο στον άξονα x'x τέτοια ώστε CD=\frac{AB}{2}

4)
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [a,b] με f(a)=5f(b) και f(b)f(\frac{a+b}{2})<0. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία A(x_1,f(x_1)) , B(x_2,f(x_2)) στο (a,b) με απόσταση των τετμημενων x_1,x_2 ίση με \frac{b-a}{2} τέτοια ώστε f(x_1)=2f(x_2)

5)
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [0,4] , της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ορθογώνιο OABC , όπου O η αρχή των αξόνων και A(4,0) , C(0,2). Να δείξετε ότι η C_f έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με καθεμία από τις διαγώνιες OB και AC του ορθογωνίου.
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Δευ Ιούλ 29, 2013 2:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Giorgos S
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 24, 2013 12:47 am
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Θ.Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Giorgos S » Κυρ Ιούλ 28, 2013 7:34 pm

thanasis kopadis έγραψε:
1)Έστω f,g:R\rightarrow R δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε x\epsilon R να ισχύει:
abf^2(x)+(a+b)g(x)+abx=0 , a,b\epsilon R^* και a+b\neq 0. Αν η C_f τέμνει τον άξονα x'x σε δύο σημεία A,B εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων, να δείξετε ότι η C_g τέμνει τον x'x σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των A και B


Αν A(x_{1},0),B(x_{2},0) τα δύο σημεία, ισχύει ότι f(x_{1})=f(x_{2})=0.
Από υπόθεση έχουμε ότι: abf^2(x)+(a+b)g(x)+abx=0 \Rightarrow g(x)=\frac{-abx-abf^2(x)}{a+b}, οπότε
g(x_{1})=\frac{-abx_{1}}{a+b} και g(x_{2})=\frac{-abx_{2}}{a+b}
επειδή τα x_{1},x_{2} ετερόσημα, και τα g(x_{1}),g(x_{2}) ετερόσημα, δηλαδή g(x_{1})g(x_{2})<0
επίσης η g συνεχής, οπότε από θ.Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (x_{1},x_{2}), τέτοιο ώστε g(\xi)=0


Βρίσκω την τηλεόραση πολύ διαπαιδαγωγική. Όποτε κάποιος την ανοίγει, πάω στο άλλο δωμάτιο και διαβάζω ένα βιβλίο.
Groucho Marx, comedian


1+1=3 για μεγάλες τιμές του 1...
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1345
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από BAGGP93 » Κυρ Ιούλ 28, 2013 10:54 pm

thanasis kopadis έγραψε:
2)
Έστω f:[a,b]\rightarrow  \mathbb R συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων A,B της C_f υπάρχει σημείο C της C_f τέτοιο ώστε AC=BC


Έστω \displaystyle{A\left(x,f(x)\right)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,B\left(y,f(y)\right)} δύο σημεία της

γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} με \displaystyle{x\neq y}

Για \displaystyle{C\left(c,f(c)\right)\in C_{f}} είναι,

\displaystyle{AC=BC\Leftrightarrow \left(AC\right)^2=\left(BC\right)^2\Leftrightarrow \left(c-x\right)^2+\left(f(c)-f(x)\right)^2=\left(c-y\right)^2+\left(f(c)-f(y)\right)^2\,\,(I)}

Επομένως, θέλω να δείξω ότι υπάρχει \displaystyle{c\in\left[a,b\right]-\left\{x,y\right\}} τέτοιο,

ώστε να ικανοποιείται η \displaystyle{(I)}

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{g:J_{i}\to \mathbb{R}} , όπου \displaystyle{i\in\left\{x,y\right\}}

με \displaystyle{J_{x}=\left[x,y\right]\subset \left[a,b\right]} αν \displaystyle{x<y} και \displaystyle{J_{y}=\left[x,y\right]\subset \left[a,b\right]} αν \displaystyle{x>y} ,

με τύπο \displaystyle{g(t)=\left(t-x\right)^2+\left(f(t)-f(x)\right)^2-\left(t-y\right)^2-\left(f(t)-f(y)\right)^2}

Η συνάρτηση \displaystyle{g} είναι συνεχής στο \displaystyle{J_{i}} ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

Επίσης, \displaystyle{g(x)=-\left(x-y\right)^2-\left(f(x)-f(y)\right)^2<0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,g(y)=\left(y-x\right)^2+\left(f(y)-f(x)\right)^2>0}

\displaystyle{\kappa \alpha \iota\,\,\alpha \rho \alpha\,\,g(x)\,g(y)<0}.

Συνεπώς, από το Θεώρημα του \displaystyle{Bolzano} , υπάρχει \displaystyle{c\in J_{i}\subset \left[a,b\right]}

τέτοιο, ώστε \displaystyle{g(c)=0\Leftrightarrow \left(c-x\right)^2+\left(f(c)-f(x)\right)^2=\left(c-y\right)^2+\left(f(c)-f(y)\right)^2} , όπως θέλαμε.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από stranton » Κυρ Ιούλ 28, 2013 11:51 pm

thanasis kopadis έγραψε:3)
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [a,b]. Έστω ότι τα σημεία A(a,f(a)) και B(b,f(b)) της C_{f} ορίζουν ευθεία AB που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και ότι η AB δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη C_{f}.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία C,D της C_{f} με CD παράλληλο στον άξονα x'x τέτοια ώστε CD=\frac{AB}{2}


Αφού AB//x'x θα είναι f(a)=f(b) . Η AB δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C_f και
επειδή η f είναι συνεχής στο [a,b] θα είναι:
f(x)>f(a)=f(b) για κάθε x\in (a,b) ή
f(x)<f(a)=f(b) για κάθε x\in (a,b) .

Υποθέτουμε ότι f(x)>f(a)=f(b) για κάθε x\in (a,b) .

Έστω g(x)=f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)-f(x) με x\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right] .

Η g είναι συνεχής στο διάστημα \left[a,\frac{a+b}{2}\right] και
g(a)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)>0
g\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0
δηλαδή g(a)\cdot g\left(\frac{a+b}{2}\right)<0 .

Επομένως, από το θεώρημα Bolzano υπάρχει x_1\in\left(a,\frac{a+b}{2}\right) τέτοιος ώστε:
g(x_1)=0 \Leftrightarrow f\left(x_1+\frac{b-a}{2}\right)=f(x_1) .

Τα σημεία C(x_1,f(x_1)) και D(x_2,f(x_2) όπου x_2=x_1+\frac{b-a}{2}
ανήκουν στην C_f είναι CD//x'x και CD=x_2-x_1=\frac{b-a}{2}=\frac{AB}{2} .

Σημείωση: Αν η AB μπορεί να τέμνει την C_f και σε άλλο σημείο, τότε:
g(a)\cdot g\left(\frac{a+b}{2}\right)=-\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)\right]^2\leq 0 .

Τότε το x_1\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right] .


Στράτης Αντωνέας
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2471
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από achilleas » Δευ Ιούλ 29, 2013 12:29 am

thanasis kopadis έγραψε:...

2)
Έστω f:[a,b]\rightarrow  \mathbb R συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων A,B της C_f υπάρχει σημείο C της C_f τέτοιο ώστε AC=BC



Μια άλλη λύση (με λίγη Ευκλείδεια γεωμετρία).

Ας θεωρήσουμε A(r,f(r)) και B(s,f(s), a<r,s<b. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας είναι r<s.

Αρκεί να δείξουμε ότι η μεσοκάθετος του AB τέμνει την C_f.

Αν f(r)=f(s), αυτό είναι προφανές, από το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: το C είναι το (\frac{r+s}{2},f(\frac{r+s}{2})).

Αν f(r)\ne f(s), θεωρούμε το ρόμβο ARBS, δηλαδή με μια διαγώνιο να είναι το AB, το R έχει τετμημένη r και το S έχει τετμημένη s.

Έστω g:[r,s]\to \mathbb{R} η συνεχής (γραμμική) συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση C_g το ευθύγραμμο τμήμα RS. (To τμήμα RS ανήκει στη μεσοκάθετο του AB).

Θέτουμε h:[r,s]\to \mathbb{R} με h(x)=f(x)-g(x) και παρατηρούμε ότι h(r)h(s)=-(f(r)-g(r))^2<0, οπότε το συμπέρασμα έπεται από το θεώρημα Bolzano.

Edit (12:51πμ): Διόρθωση του τετραγώνου σε ρόμβο.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από thanasis kopadis » Δευ Ιούλ 29, 2013 3:23 pm

thanasis kopadis έγραψε:4)
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [a,b] με f(a)=5f(b) και f(b)f(\frac{a+b}{2})<0. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία A(x_1,f(x_1)) , B(x_2,f(x_2)) στο (a,b) με απόσταση των τετμημενων x_1,x_2 ίση με \frac{b-a}{2} τέτοια ώστε f(x_1)=2f(x_2)


Αφού η απόσταση των x_1,x_2 είναι ίση με \frac{b-a}{2} θα ισχύει ότι: x_2-x_1=\frac{b-a}{2}, δηλαδή x_2=x_1+\frac{b-a}{2}. Αρκεί να δείξουμε ότι f(x_1)=2f(x_1+\frac{b-a}{2})
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-f(x+\frac{b-a}{2}) στο [a,\frac{a+b}{2}]
Η h είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών, με h(a)=f(a)-2f(a+\frac{b-a}{2})=5f(b)-2f(\frac{a+b}{2}) και h(\frac{a+b}{2})=f(\frac{a+b}{2})-2f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2})=f(\frac{a+b}{2})-2f(b).
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και μετά από πράξεις προκύπτει ότι: h(a)h(\frac{a+b}{2})=9f(b)f(\frac{a+b}{2})-10f^2(b)-2f^2(\frac{a+b}{2})<0 , λόγω υπόθεσης. Άρα από Θ. Bolzano θα υπάρχει x_1\epsilon [a,\frac{a+b}{2}]\subseteq [a,b] τέτοιο ώστε h(x_1)=0 και άρα αυτό που θέλαμε.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από thanasis kopadis » Τρί Ιούλ 30, 2013 4:55 pm

thanasis kopadis έγραψε:
5)
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [0,4] , της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ορθογώνιο OABC , όπου O η αρχή των αξόνων και A(4,0) , C(0,2). Να δείξετε ότι η C_f έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με καθεμία από τις διαγώνιες OB και AC του ορθογωνίου.


Aς δώσω και την απάντηση στο τελευταίο ερώτημα, ώστε να είναι ολοκληρωμένο. Ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες λύσεις όσων ασχολήθηκαν.

Αφού το OABC είναι ορθογώνιο, θα είναι B(4,2). Η διαγώνιος OB έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda _{OB}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2} και άρα εξίσωση OB: \psi =\frac{1}{2}x, ενώ αντίστοιχα η διαγώνιος AC έχει \lambda _{AC}=\frac{0-2}{4-0}=-\frac{1}{2} και εξίσωση \psi =-\frac{1}{2}x+2. Θεωρώ τις συναρτήσεις g(x)=f(x)-\frac{1}{2}x και h(x)=f(x)+\frac{1}{2}x-2 και εφαρμόζω το Θ.Bolzano για κάθεμια από αυτές στο διάστημα [0,4]. To δεδομένο που πρέπει να λάβω υπόψη, ώστε να ισχύει και η δεύτερη προυπόθεση του Θ.Bolzano είναι ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το f([0,4])=[0,2] (λόγω του ορθογωνίου), οπότε 0\leq f(0)\leq 2 και 0\leq f(4)\leq 2 .


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες