Όριο_01

#1

Νά βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, τό $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\ln{\frac{2+\eta\mu{x}}{6+\sigma\upsilon\nu{x}}}}{x}}$ .

#2

κριτήριο παρεμβολής
Δείχνουμε ότι για τον αριθμητή Α ισχύει $\displaystyle{0<A<3/5}$
οπότε εύκολα τώρα το όριο μας είναι το 0

hsiodos · #3

Καλημέρα

Συμφωνώ με τον Ροδόλφο μόνο που για τον αριθμητή έχω βρει(αν δεν έχω λάθος) $\displaystyle{ - \ln 7 \le A \le \ln \left( {\frac{3}{5}} \right)}$

Γιώργος

#4

Σωστά Ροδόλφε, όσον αφορά τό κριτήριο παρεμβολής. Σωστά Γιώργο ${ - \ln 7 \le A \le \ln \left( {\frac{3}{5}} \right)}$ . Πιό συγκεκριμένα:

$\displaystyle{\frac{\ln{\frac{2+\eta\mu{x}}{6+\sigma\upsilon\nu{x}}}}{x}}={\frac{\ln({2+\eta\mu{x}})}{x}-\frac{\ln({6+\sigma\upsilon\nu{x}})}{x}}$ (1)

Γιά κάθε $x\in({0,+\infty})$ ισχύουν: $\left\{{\begin{array}{c} -1\leq\eta\mu{x}\leq1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} -1\leq\sigma\upsilon\nu{x}\leq1 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{c} 1\leq2+\eta\mu{x}\leq3\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 5\leq6+\sigma\upsilon\nu{x}\leq7 \end{array}}\right\}\quad\mathop{\Leftrightarrow}\limits^{\ln{x}\!\nearrow}$
$\left\{{\begin{array}{c} \ln{1}\leq\ln({2+\eta\mu{x}})\leq\ln3\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \ln5\leq\ln({6+\sigma\upsilon\nu{x}})\leq\ln7 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{c} 0\leq\dfrac{\ln({2+\eta\mu{x}})}{x}\leq\dfrac{\ln3}{x}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \dfrac{\ln5}{x}\leq\dfrac{\ln({6+\sigma\upsilon\nu{x}})}{x}\leq\dfrac{\ln7}{x} \end{array}}\right\}$ .

Επειδή $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha}{x}=0, \ \alpha>0$ , έπεται ότι $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\ln{\frac{2+\eta\mu{x}}{6+\sigma\upsilon\nu{x}}}}{x}}\stackrel{(1)}{=}\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[{\frac{\ln({2+\eta\mu{x}})}{x}-\frac{\ln({6+\sigma\upsilon\nu{x}})}{x}}\right]=$
$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln({2+\eta\mu{x}})}{x}-\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln({6+\sigma\upsilon\nu{x}})}{x}=0-0=0.\quad\square$

Όριο_01

Όριο_01

Re: Όριο_01

Re: Όριο_01

Re: Όριο_01

Μέλη σε σύνδεση