Καλοκαιρινή συναρτησιακή 29

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις περιττές και συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x))=x , }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις περιττές και συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x))=x , }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Έστω $x,y\in\Bbb{R}$ με f(x)=f(y)

, τότε $f(f(x))=f(f(y))\Rightarrow x=y$ , άρα η

είναι

και ως συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη (το έχουμε αποδείξει πολλές φορές).

Αν είναι γνησίως αύξουσα , τότε:

Αν υπάρχει $t\in\Bbb{R}$ με f(t)>t

, τότε $f(f(t))>f(t)>t\Rightarrow t>t$ ΑΤΟΠΟ.

Αν υπάρχει $t\in\Bbb{R}$ με f(t)<t

, τότε $f(f(t))<f(t)<t\Rightarrow t<t$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=x\;,\;x\in\Bbb{R}$ (που ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις).

Αν είναι γνησίως φθίνουσα , τότε:

Αν υπάρχει $t\in\Bbb{R}$ με f(t)>-t

, τότε $f(f(t))<f(-t)\iff t<-f(t) \iff f(t)<-t$ ΑΤΟΠΟ.

Αν υπάρχει $t\in\Bbb{R}$ με f(t)<-t

, τότε $f(f(t))>f(-t)\iff t>-f(t) \iff f(t)>-t$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=-x\;,\;x\in\Bbb{R}$ (που ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις).

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=99484

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 29

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 29

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 29

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 29

Μέλη σε σύνδεση