Συναρτησιακή εξίσωση (ιη)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+xy+(f(y))^2)=xy+f(x^2+y^2), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

chris · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+xy+(f(y))^2)=xy+f(x^2+y^2), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

$\displaystyle{ f(x^2+xy+(f(y))^2)=xy+f(x^2+y^2), \forall x,y \in \mathbb{R} }: (1)$

Για $x \neq 0$ και $\displaystyle x\rightarrow x-\frac{f^2(x)}{x} , y\rightarrow x$ η (1)

δίνει:
$\displaystyle f\left[2x^2-2f^2(x)+\frac{f^4(x)}{x^2} \right]=x^2-f^2(x)+f\left[2x^2-2f^2(x)+\frac{f^4(x)}{x^2} \right] \Rightarrow \boxed{f^2(x)=x^2 , \forall x \in \mathbb{R^{*}}}$

Εύκολα λόγω συνέχειας παίρνουμε f(0)=0

και έτσι τελικά έχουμε:
$\displaystyle \left(f(x)=x \;\;\;\; \acute{\eta } \;\;\;\; f(x)=-x \right) \forall x \in \mathbb{R}$

H $f(x)=x ,\forall x \in \mathbb{R}$ είναι δεκτή. H $f(x)=-x ,\forall x \in \mathbb{R}$ απορρίπτεται.

Η $\displaystyle f(x)= \begin{cases} x \;\;,\; \; x\geq 0 \\ -x ,\;\; x<0 \end{cases}$ είναι δεκτή.Η $\displaystyle f(x)= \begin{cases} -x \;\;,\; \; x\geq 0 \\ x ,\;\; x<0 \end{cases}$ απορρίπτεται.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=528128

Συναρτησιακή εξίσωση (ιη)

Συναρτησιακή εξίσωση (ιη)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιη)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιη)

Μέλη σε σύνδεση