Συναρτησιακή εξίσωση (κε)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+f(y))+f(f(x))=2f(x)+y , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

nikoszan · #2

$f(f(x) + f(y)) + f(f(x)) = 2f(x) + y:\left( 1 \right)$
Από την $\left( 1 \right)$ με εναλλαγή των x,y

προκύπτει ότι για κάθε $x,y \in R$ ισχύει $f(f(y) + f(x)) + f(f(y)) = 2f(y) + x:\left( 2 \right)$
Από $\left( 1 \right)$ και $\left( 2 \right)$ προκύπτει ότι για κάθε $x,y \in R$ ισχύει $f(f(x)) - 2f(x) + x = f(f(y)) - 2f(y) + y:\left( 3 \right)$ .
Επομένως υπάρχει $a \in R$ ,ώστε για κάθε $x \in R$ να ισχύει $f(f(x)) - 2f(x) + x = a \Rightarrow f(f(x)) = 2f\left( x \right) - x + a:\left( 4 \right)$
Έχουμε $:\left( 1 \right) \wedge \left( 4 \right) \Rightarrow f(f(x) + f(y)) = x + y - a,\forall x,y \in R:\left( 5 \right)$ και θέτοντας y = a

έχουμε ότι ισχύει $f(f(x) + f(a)) = x,\forall x \in R:\left( 6 \right)$
Από την $\left( 4 \right)$ θέτοντας όπου

το

έχουμε ότι για κάθε $x \in R$ ισχύει $f(f(f(x) + f(a))) = 2f\left( {f(x) + f(a)} \right) - \left( {f(x) + f(a)} \right) + a\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right)}$
$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right)} f\left( x \right) = 2x - f\left( x \right) + a - f\left( a \right) \Rightarrow f\left( x \right) = x + b,$ όπου $b = \frac{{a - f\left( a \right)}}{2}$ .
Πρέπει όμως η $f\left( x \right) = x + b$ να ικανοποιεί την $\left( 1 \right)$ και αυτό συμβαίνει μόνο όταν είναι b = 0

,οπότε είναι $f\left( x \right) = x,x \in R$ .
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=340552

#4

Αλλιώς:

Θέτουμε x=0

και βλέπουμε ότι η

είναι επί. Επομένως, υπάρχει

με

Θέτουμε

και έχουμε $\displaystyle{f(f(x))=f(x)+\frac{i}{2}}$ και, λόγω του επί, είναι f(x)=x+a

όπου

σταθερή.
Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε a=0

οπότε

για κάθε

Συναρτησιακή εξίσωση (κε)

Συναρτησιακή εξίσωση (κε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κε)

Μέλη σε σύνδεση