Συναρτησιακή εξίσωση (κη)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(a+f(b+f(c))) = f(f(a+b))+bf(c)-f(bc)+c , }$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(a+f(b+f(c))) = f(f(a+b))+bf(c)-f(bc)+c ,(1) , }$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}.$

$a=b=c=0\quad (1)\Rightarrow f(f(f(0)))=f(f(0))-f(0)\quad (\star)$

$a=b=0\quad (1)\Rightarrow f(f(f(c)))=f(f(0))-f(0)+c\quad (2)\quad f:1-1$

$c:=f(0)\quad (2)\Rightarrow f(f(f(f(0))))=f(f(0))\Rightarrow f(f(0))=0$

$(\star)\Rightarrow f(0)=0$

$(2)\Rightarrow f(f(f(c)))=c$

$c=0\quad (1)\Rightarrow f(a+f(b))=f(f(a+b))\Rightarrow f(a+b)=a+f(b)\stackrel{a:=-b}\Longrightarrow$ $f(b)=b,b\in \mathbb R$

ικανοποιεί την αρχική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=405061

Συναρτησιακή εξίσωση (κη)

Συναρτησιακή εξίσωση (κη)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κη)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κη)

Μέλη σε σύνδεση