Συναρτησιακή εξίσωση (λστ)

#1

α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

γ) Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$ (Δεν έχω απάντηση)

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

γ) Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$ (Δεν έχω απάντηση)

α)Για

έχουμε $f^2(0)=f(0)\iff f(0)=0$ ή f(0)=1

.

Αν

, τότε για x=0

έχουμε $f(0)f(yf(0))=f(y)\iff f(y)=0$ για κάθε $y\in\Bbb{R}$ , άρα f(x)=0

για κάθε $x\in\Bbb{R}$ (επαληθεύει).

Αν f(0)=1

, τότε για y=0

έχουμε $f(x)f(0\cdot f(x))=f(0)\iff f(x)=1$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ (επαληθεύει).
β)
Αν η συνάρτηση είναι σταθερή , έστω f(x)=c>0

για κάθε

, τότε έχουμε $c\cdot c=c\iff c=1$ , άρα f(x)=1

για κάθε

.

Αν δεν είναι σταθερή , τότε αφού είναι συνεχής και f(x)>0

, το σύνολο τιμών της θα είναι διάστημα

της μορφής , (k,m)

ή

όπου $k\geq 0$ και m>0

ή $m=+\infty$ .

Αν f(1)=a

, τότε για y=1

, έχουμε

, άρα για κάθε $x\in D$ θα έχουμε $f(x)=\dfrac{a}{x}$ .

Αν υποθέσουμε ότι k>0

, τότε $\displaystyle f(k)=\lim_{x\to k^+}f(x)=\dfrac{a}{k}$ .

Άρα $\dfrac{a}{k}\in D$ , επομένως $f\left(\dfrac{a}{k}\right)=k\in D$ . Έτσι η

έχει ελάχιστο το

.

Τότε $f(x)\geq k$ για κάθε x>0

.

Έχουμε $f(1)\geq k\Rightarrow a\geq k$ .

Επίσης για x=k

στην αρχική , έχουμε $f(k)f(kf(y))=f(y)\Rightarrow f(y)=\dfrac{a}{k}f(kf(y))$ για κάθε y>0

.

Αλλά $f(kf(y))\geq k\Rightarrow \dfrac{a}{k}f(kf(y))\geq a\Rightarrow f(y)\geq a$ για κάθε y>0

.

Επομένως θα πρέπει $a\leq k$ .

Έτσι k=a

, άρα $f(a)=\dfrac{a}{a}=1$ , επομένως $1\geq a$ .

Επίσης για $x=1\;,\;y=\dfrac{1}{a}$ , έχουμε $f(1)f\left(\dfrac{1}{a}f(1)\right)=f\left(\dfrac{1}{a}\right)\iff f\left(\dfrac{1}{a}\right)=a^2$ .

Άρα $a^2\geq a\Rightarrow a\geq 1$ .

Έτσι a=1

.

Επειδή το

είναι διάστημα , υπάρχει t>1

με $t\in D$ , άρα $f(t)=\dfrac{1}{t}\Rightarrow \dfrac{1}{t}\in D\Rightarrow \dfrac{1}{t}\geq 1\Rightarrow t\leq 1$ ΑΤΟΠΟ.

Έτσι k=0

.

Αν υποθέσουμε ότι $m\in(0,+\infty)$ , τότε όμοια έχουμε ΑΤΟΠΟ , άρα $m=+\infty$ .

Επομένως για κάθε $x\in D=(0,+\infty)$ έχουμε $f(x)=\dfrac{a}{x}$ (επαληθεύει).

(Ίσως να απλοποιείται η παραπάνω απόδειξη σε κάποια σημεία , δεν το κοίταξα. Προσπάθησα να την κάνω στην ύλη της Γ' Λυκείου. )
γ) Το ψάχνω....

#3

Για το γ), στην περίπτωση της μη γνήσιας μονοτονίας υπάρχουν και περίεργες συναρτήσεις-λύσεις όπως φαίνεται εδώ:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... start=1140 (κάτω κάτω)

Συναρτησιακή εξίσωση (λστ)

Συναρτησιακή εξίσωση (λστ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λστ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λστ)

Μέλη σε σύνδεση