Συναρτησιακή εξίσωση (λζ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+y^2)=x+y^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+y^2)=x+y^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για $\displaystyle{y=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(f(x))=x~\forall x,}$ άρα η $\displaystyle{f}$ έχει ως ρίζα το $\displaystyle{f(0)}$ και είναι $\displaystyle{1-1.}$

Ας είναι $\displaystyle{a:=f(0).}$

Η αρχική για $\displaystyle{x=a}$ δίνει $\displaystyle{f(y^2)=y^2+f(0),}$ άρα $\displaystyle{\boxed{f(x)=x+f(0)~\forall x\geq 0}}$

Επίσης, η αρχική για $\displaystyle{x=-y^2}$ δίνει $\displaystyle{f(f(-y^2)+y^2)=0\implies f(f(-y^2)+y^2)=f(f(0))\implies f(-y^2)=-y^2+f(0),}$

άρα $\displaystyle{\boxed{f(x)=x+f(0)~\forall x\leq 0}}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=x+f(0)~\forall x.}$

Με αντικατάσταση στην αρχική βρίσκουμε $\displaystyle{f(0)=0,}$ άρα η μόνη λύση είναι η $\displaystyle{f(x)=x~\forall x.}$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=561100

Συναρτησιακή εξίσωση (λζ)

Συναρτησιακή εξίσωση (λζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λζ)

Μέλη σε σύνδεση