Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+2xy)=x^2-f(x^2)-f(2xy) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

#2

Στη δοσμένη σχέση

$\displaystyle{f\left( {{x^2} + 2xy} \right) = {x^2} - f\left( {{x^2}} \right) - f\left( {2xy} \right)}$ $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$

θέτουμε $\displaystyle{x = 0}$ , οπότε προκύπτει ότι $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0.}$

Θέτουμε $\displaystyle{y = 0}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( {{x^2}} \right) = {x^2} - f\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2}} \right) = \frac{{{x^2}}}{2}}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , δηλαδή $\displaystyle{f\left( t \right) = \frac{t}{2}}$ για κάθε $\displaystyle{t \in \left[ {0, + \infty } \right)}$ .

Έτσι, η $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ γράφεται

$\displaystyle{f\left( {{x^2} + 2xy} \right) + f\left( {2xy} \right) = \frac{{{x^2}}}{2}}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε στη σχέση $\bf \color{red} \left(1 \right)$ $\displaystyle{x = y = 1}$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( 3 \right) + f\left( 2 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2},}$

πράγμα άτοπο. Ώστε, δεν υπάρχει συνάρτηση που να επαληθεύει τη σχέση $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ .

Σημείωση: Αν αντί της $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ είχαμε τη σχέση

$\displaystyle{f\left( {{x^2} + 2xy} \right) = {x^2} - f\left( {{x^2}} \right) {\color{red}+} f\left( {2xy} \right)}$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ , τότε εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{2}}$ την επαληθεύει ...

#3

emouroukos έγραψε:Σημείωση: Αν αντί της $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ είχαμε τη σχέση

$\displaystyle{f\left( {{x^2} + 2xy} \right) = {x^2} - f\left( {{x^2}} \right) {\color{red}+} f\left( {2xy} \right)}$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ , τότε εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{2}}$ την επαληθεύει ...

... και, αν βλέπω καλά, είναι η μόνη λύση...

Ευχαριστώ Βαγγέλη!

#4

socrates έγραψε:
emouroukos έγραψε:Σημείωση: Αν αντί της $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ είχαμε τη σχέση

$\displaystyle{f\left( {{x^2} + 2xy} \right) = {x^2} - f\left( {{x^2}} \right) {\color{red}+} f\left( {2xy} \right)}$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ , τότε εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{2}}$ την επαληθεύει ...

... και, αν βλέπω καλά, είναι η μόνη λύση...

Επαναφορά!

#5

socrates έγραψε:
emouroukos έγραψε:Σημείωση: Αν αντί της $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ είχαμε τη σχέση

$\displaystyle{f\left( {{x^2} + 2xy} \right) = {x^2} - f\left( {{x^2}} \right) {\color{red}+} f\left( {2xy} \right)}$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ , τότε εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{2}}$ την επαληθεύει ...

... και, αν βλέπω καλά, είναι η μόνη λύση...

Ευχαριστώ Βαγγέλη!

Για

έχουμε

Για

βρίσκουμε, όπως παραπάνω, ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{2}}$ για κάθε $x\geq 0.$

Για $\displaystyle{y=-\frac{x}{2}}$ έχουμε $\displaystyle{f(-x^2)=-\frac{x^2}{2}}$ δηλαδή $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{2}}$ για κάθε $x\leq 0.$

Επομένως, $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{2}}$ για κάθε $x\in \Bbb{R}.$

Άλλη μια λύση:

Για x=0

έχουμε

Για

βρίσκουμε, όπως παραπάνω, ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{2}}$ για κάθε $x\geq 0.$

Για $\displaystyle{x=1,y=\frac{y}{2}}$ έχουμε $\displaystyle{f(y+1)=f(y)+\frac{1}{2}}$ οπότε, επαγωγικά, $\displaystyle{f(y+n)=f(y)+\frac{n}{2}}$ για κάθε $y\in \Bbb{R}$ και για κάθε $n\in \Bbb{N}.$

Για τον αυθαίρετο πραγματικό

επιλέγουμε $n\in \Bbb{N}$ ώστε y+n>0

οπότε από τη σχέση $\displaystyle{f(y+n)=f(y)+\frac{n}{2}}$ προκύπτει $\displaystyle{f(y)=\frac{y}{2}.}$

Επομένως, $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{2}}$ για κάθε $x\in \Bbb{R}.$

#6

Πηγή:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=452761

Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μβ)

Μέλη σε σύνδεση