Δεν υπάρχουν συναρτήσεις!

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις $\displaystyle{\rm f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{f(g(x))=x^2~\text{\gr για κάθε}~x\in \mathbb{R}}$

και

$\displaystyle{g(f(x))=x^3 ~\text{\gr για κάθε}~x\in \mathbb{R}.}$

#2

Έστω ότι υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις f, g

.

Από τη σχέση $\displaystyle{g\left( {f\left( x \right)} \right) = {x^3}}$ προκύπτει ότι η

είναι 1-1:

$\displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow g\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right) = g\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right) \Rightarrow x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow {x_1} = {x_2}.}$

Επίσης, είναι

$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = f\left( {g\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {{x^3}} \right)}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτοντας στην $\bf \color{red} \left(1 \right)$ x = -1

,

και

, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{{\left( {f\left( { - 1} \right)} \right)^2} = f\left( { - 1} \right),}$

$\displaystyle{{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^2} = f\left( 0 \right)}$

και

$\displaystyle{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2} = f\left( 1 \right),}$

δηλαδή οι αριθμοί $\displaystyle{f\left( { - 1} \right),f\left( 0 \right),f\left( 1 \right)}$ είναι τρεις διαφορετικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{{t^2} - t = 0}$ , πράγμα άτοπο.

Ώστε, δεν υπάρχουν συναρτήσεις f, g

με τις δοσμένες ιδιότητες.

leuteris · #3

Θα μπορούσαμε να λύσουμε την άσκηση με τον παρακάτω τρόπο;(πιο πολύ δουλειά βέβαια αλλά θα ήθελα να ξέρω αν είναι σωστή η λύση)
Είναι $g(f(\mathbb{R}))=\mathbb{R}$ και επειδή $f(\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R}$ θα είναι $g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ .
Άρα αφού $f(g(x))=x^{2} ,x \in \mathbb{R}$ έχουμε ότι $f(g(\mathbb{R}))=[0,+\infty]$ ή $f(\mathbb{R})=[0,+\infty]$ .
Οπότε $g(f(\mathbb{R}))=\mathbb{R}\Rightarrow g([0,+\infty])=\mathbb{R}$ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=g(x)

με πεδίο ορισμού $\mathbb{A}=[0,+\infty] (h(\mathbb{A})=g(\mathbb{A})=\mathbb{R})$ .Τότε $h(f(x))=x^{3} ,x \in \mathbb{R}$ και $f(h(x))=x^{2} , x \in [0,+ \infty]$ .Από την τελευταία σχέση έχουμε ότι η

είναι

(με τον ίδιο τρόπο που έδειξε ο κύριος Βαγγέλης ότι η

είναι

).
Οπότε από την $h(f(x))=x^{3}$ έχουμε ότι $f(x)=h^{-1}(x^{3}) , x \in \mathbb{R}$ (1)

και από την $f(h(x))=x^{2} , x \in [0,+ \infty]$ για h(x)=y

και $x=h^{-1}(y)$ έχουμε ότι $f(y)=(h^{-1}(y))^{2}, y \in \mathbb{R}$ ή $f(x)=(h^{-1}(x))^{2}, x \in \mathbb{R}$ (2)

Άρα από τις $(1),(2)\Rightarrow (h^{-1}(x))^{2}=h^{-1}(x^{3}) , x \in \mathbb{R}$ και μετά θέτοντας x=-1,x=0,x=1

καταλήγουμε σε άτοπο με τον ίδιο τρόπο που κατέληξε και ο κύριος Βαγγέλης.

#4

Δείτε και άσκηση 3 εδώ.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δεν υπάρχουν συναρτήσεις!

Δεν υπάρχουν συναρτήσεις!

Re: Δεν υπάρχουν συναρτήσεις!

Re: Δεν υπάρχουν συναρτήσεις!

Re: Δεν υπάρχουν συναρτήσεις!

Μέλη σε σύνδεση