Μικρή 1

Λάμπρος Μπαλός · #1

Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ και ισχύει:

f (x+y)+f (x-y)=2f (x) f (y)

, για κάθε $x, y\in R$ .

α) Να βρεθεί το f (0)

β) Να αποδείξετε ότι $f (x)\geq -1$ για κάθε $x\in R$ .

maiksoul · #2

Επειδή είναι ...μικρή !

a)Η αρχική ισότητα για $\displaystyle{ \,\,x = y = 0\,\, }$ δίνει $\displaystyle{ \,\,\,\,\,f(0) = 0\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,f(0) = 1\,\,\,\, }$

όμως για $\displaystyle{ \,y = 0\,\, }$ δίνει $\displaystyle{ \,\,\,\,f(x) = 0\,\,\,\,\forall x \in R\,\, }$ αν $\displaystyle{ \,\,\,\,f(0) = 0\,\,\,\,\, }$ ,

το οποίο έρχεται σε αντίθεση με το δεδομένο πως η συνάρτηση δεν είναι σταθερή.

Άρα: $\displaystyle{ \,\,\,\,f(0) = 1\,\,\,\,\, }$

b)Έχουμε

$\displaystyle{ \,\,\alpha \rho \chi \iota \kappa \eta \,\,\mathop \Rightarrow \limits^{y = x} \,f(2\chi ) + 1 = 2f^2 (x) \ge 0\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,(1)\,\,\, }$

άρα

$\displaystyle{ \,\,(1)\,\mathop \Rightarrow \limits^{x = \frac{u}{2}} \,f(u) + 1 = 2f^2 (\frac{u}{2}) \ge 0\,\,\,\,\forall u \in R\,\,\, \Rightarrow f(u) \ge - 1\,\,\,\,\forall u \in R\,\,\,\, }$

δηλαδή

$\displaystyle{ \,\,f(x) \ge - 1\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\, }$

Μικρή 1

Μικρή 1

Re: Μικρή 1

Μέλη σε σύνδεση