Ίσες ή Αντίθετες;

Grosrouvre · #1

Δύο συναρτήσεις

και

είναι συνεχείς στο $\mathrm{R}$ και για κάθε $x \in \mathrm{R}$ ισχύει $f^2(x) = g^2(x) \neq 0$ . Να αποδειχθεί ότι για κάθε $x \in \mathrm{R}$ ισχύει

f(x) = g(x)

ή

.

#2

Grosrouvre έγραψε:Δύο συναρτήσεις και είναι συνεχείς στο $\mathrm{R}$ και για κάθε $x \in \mathrm{R}$ ισχύει $f^2(x) = g^2(x) \neq 0$ . Να αποδειχθεί ότι για κάθε $x \in \mathrm{R}$ ισχύει

ή .

Το συμπέρασμα δεν είναι διατυπωμένο σωστά, αλλά πρέπει να αντικατασταθεί με το

Να αποδειχθεί ότι για κάθε $x \in \mathrm{R}$ ισχύει f(x) = g(x)

ή για κάθε $x \in \mathrm{R}$ ισχύει f(x) = - g(x)

.

Πρόκεται για γνωστή εφαρμογή του Bolzano.

Από την υπόθεση έχουμε $(f(x) - g(x))(f(x) + g(x))=0 \, \forall x$ οπότε

για κάθε $x \in \mathrm{R}$ ισχύει $f(x) = g(x) \, (*)$ ή $f(x) = - g(x)\, (**)$ .

Τώρα, η υπόθεση $f(x), g(x) \ne 0\, \forall x$ δίνει $f(x)> 0\, \forall x$ ή $f(x)< 0\, \forall x$ και όμοια για την

.

Αν π.χ. ισχύει η $f(x) > 0, \, g(x) >0 ,\, \forall x$ τότε έπεται για κάθε

η

καθώς δεν υπάρχει x_0

που ικανοποιεί την (**)

διότι τότε αυτό το x_0

θα έδινε το άτοπο 0< f(x_0) = -g(x_0) <0

. Όμοια οι άλλες περιπτώσεις.

Μ.

#3

Θα μπορούσαμε να πούμε και:

"... Να αποδειχθεί ότι f=g

ή

"

Ίσες ή Αντίθετες;

Ίσες ή Αντίθετες;

Re: Ίσες ή Αντίθετες;

Re: Ίσες ή Αντίθετες;

Μέλη σε σύνδεση