Συνέχεια

Antonis Loutraris · #1

Mία ενδιαφέρουσα άσκηση.

Ας είναι μία συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία $f(x)\cdot \sigma\upsilon\nu x>0$ σε κάθε

που $\sigma\upsilon\nu x\neq 0.$ Βρείτε τις ρίζες της

#2

Antonis Loutraris έγραψε:Mία ενδιαφέρουσα άσκηση.

Ας είναι μία συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία $f(x)\cdot \sigma\upsilon\nu x>0$ σε κάθε
που $\sigma\upsilon\nu x\neq 0.$ Βρείτε τις ρίζες της

Οι ρίζες της

είναι οι λύσεις της εξίσωσης $\cos x=0$ .

Η βασική ιδέα της λύσης

Η

είναι ομόσημη με τη συνάρτηση συνημίτονο στα διαστήματα με άκρα δύο διαδοχικές ρίζες της (συνάρτησης συνημίτονο). Η

αλλάζει πρόσημο δεξιά κι αριστερά από κάθε ρίζα της $\cos x=0$ , σε μια περιοχή αυτής της ρίζας. Λόγω συνέχειας, η

πρέπει να έχει μια ρίζα σε μια περιοχή κάθε ρίζας της συνάρτησης συνημίτονο. Λόγω της δοθείσας ανισοτικής σχέσης, οι ρίζες της

και της συνάρτησης συνημίτονο πρέπει να ταυτίζονται. Πράγματι, με περισσότερο μαθηματικό συμβολισμό έχουμε την παρακάτω:

Λύση:

Για κάθε $k\in \mathbb{Z}$ παρατηρoύμε ότι

$f(k\pi)\cdot f((k+1)\pi)= -f(k\pi)\cos (k\pi) \cdot f((k+1)\pi) \cos ((k+1)\pi)<0$

κι άρα, από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ρίζα $\xi_k$ της

στο διάστημα $(k\pi, (k+1)\pi)$ .

Από τη δοθείσα σχέση, αναγκαστικά είναι $\cos \xi_k=0$ , διότι διαφορετικά θα είχαμε

$0<f(\xi_k)\cos \xi_k=0\cdot \cos \xi_k=0$ , άτοπο.

Συνεπώς, $\xi_k=\dfrac{k\pi+(k+1)\pi}{2}=\dfrac{2k+1}{2}\pi.$

Για $x\ne \dfrac{2k+1}{2}\pi$ με

ακέραιο, είναι $\cos x\ne 0$ , οπότε $f(x)\cos x>0$ , κι άρα $f(x)\ne 0$ .

Συνεπώς, $f(x)=0\iff \cos x=0\iff x= \dfrac{2k+1}{2}\pi$ , με

ακέραιο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Συνέχεια

Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση