Ερώτηση σε όριο

alekos100 · #1

Έστω η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3$ με $f(x)\neq 3$ κοντά στο 2. Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f^{2}(x)-9}{f(x)-3}$

ερώτηση αν θέσουμε f(x)=y γίνεται D.L.H

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f^{2}(x)-9}{f(x)-3}=\lim_{y\rightarrow 3}\frac{y^{2}-9}{y-3}=\lim_{y\rightarrow3}\frac{2y}{1}=6$

η δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε D.L.H γιατί δεν γνωρίζουμε αν η

είναι παραγωγίσιμη οπότε

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f^{2}(x)-9}{f(x)-3}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(f(x)-3)(f(x)+3))}{f(x)-3}= \lim_{x\rightarrow2}(f(x)+3)=3+3=6$

#2

alekos100 έγραψε:...η δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε D.L.H γιατί δεν γνωρίζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη οπότε

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f^{2}(x)-9}{f(x)-3}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(f(x)-3)(f(x)+3))}{f(x)-3}= \lim_{x\rightarrow2}(f(x)+3)=3+3=6$

Αφού ο ίδιος παρατηρείτε ότι δεν δίνεται η

παραγωγίσιμη -και επομένως δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε L'Hospital. (Η παραγώγιση ως προς

δεν έχει νόημα αφού δεν γνωρίζουμε π.χ. το που παίρνει τιμές η "μεταβλητή"

)-, για ποιον λόγο εμμένετε σε αυτήν την σκέψη;

Ο δεύτερος τρόπος είναι σωστός και απλός.

edit 14/5/2017 00:30 : Ο ισχυρισμός ότι δεν εφαρμόζεται στην συγκεκριμένη περίπτωση ο κανόνας L'Hospital - επειδή η

δεν δίνεται συνεχής- είναι λανθασμένος. Φαίνεται και από την συζήτηση που ακολουθεί. Απολογούμαι!

#3

Μια σχετική συζήτηση εδώ

#4

exdx έγραψε:Μια σχετική συζήτηση εδώ

Γιώργο,

υπάρχει μια σημαντική διαφορά με το παραπάνω και την συζήτηση που παραπέμπεις. Εκεί η συνάρτηση

δίνεται συνεχής! Στην περίπτωση που συζητάμε το μόνο που γνωρίζουμε για την "μεταβλητή"

είναι ότι έχει σημείο συσσώρευσης το

. Αν η

ήταν συνεχής, τότε η "μεταβλητή"

θα έπαιρνε, τουλάχιστον στην περιοχή του

, όλες τις τιμές.
Μπορούμε να μιλάμε για παραγωγισιμότητα μιας συνάρτησης g(y)

όταν δεν γνωρίζουμε που ορίζεται η

;

Christos.N · #5

Βασισμένα σε αυτά που γράφει ο Γρηγόρης

$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x+1,x \in Q\\ 3,x \in R - Q \end{array} \right.,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 9}}{{f\left( x \right) - 3}} = .... = ; \end{array}}$

και ισχύει $\displaystyle{\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left( {\exists x \in \Delta \left( {2,\varepsilon } \right)} \right):f\left( x \right) \ne 3}$
όπου Δ συμβολίζω την δακτυλική περιοχή

Υ.Γ.: Πήγα να χρησιμοποιήσω σε quote αυτά που είχα γράψει και αλλοίωσα άθελα μου την αρχική μου δημοσίευση, την ξαναέγραψα κοντά στο πνεύμα της, συγνώμη.

#6

Christos.N έγραψε:... $\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x+1,x \in Q\\ 3,x \in R - Q \end{array} \right.,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 9}}{{f\left( x \right) - 3}} = .... = ; \end{array}}$

και ισχύει $\displaystyle{\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left( {\exists x \in \Delta \left( {2,\varepsilon } \right)} \right):f\left( x \right) \ne 3}$
όπου Δ συμβολίζω την δακτυλική περιοχή ....

Νομίζω ότι το παράδειγμα που δίνει ο Χρήστος είναι κατάλληλο. Ας το διασαφηνίσουμε:

Από τον ορισμό της η μεταβλητή y=f(x)

παίρνει μόνο ρητές τιμές, αφού $x\in\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad y=x+1\in\mathbb{Q}$ και $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad y=3\in\mathbb{Q}$ .
Έχουμε να υπολογίσουμε το όριο $\mathop {\lim }\limits_{\mathbb{Q}\ni y \to 3} \dfrac{y^2 - 9}{y - 3}$ , όπου οι συναρτήσεις y^2 - 9, y - 3

ορίζονται μόνο στο $\mathbb{Q}$ και επομένως δεν εφαρμόζεται ο κανόνας L'Hôpital αφού οι συναρτήσεις δεν ορίζονται σε διάστημα* που περιέχει το

όπως απαιτούν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.

(*) Το απαιτούν όλες οι διαφορετικές εκδοχές του θεωρήματος που γνωρίζω.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην περίπτωση όπου η "μεταβλητή"

παίρνει μόνο ρητές τιμές και έχουμε όριο $\mathop {\lim }\limits_{ y \to a} \dfrac{f(y)}{g(y)}$ με

άρρητο, φαίνεται καθαρότερα ότι δεν εφαρμόζεται το θεώρημα L'Hôpital.

Υ.Γ. Βέβαια υπάρχουν κι άλλες περιπτώσεις όπου η "μεταβλητή"

παίρνει τιμές σε ακόμα πιο "παράξενα" σύνολα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

grigkost έγραψε:
Christos.N έγραψε:... $\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x+1,x \in Q\\ 3,x \in R - Q \end{array} \right.,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 9}}{{f\left( x \right) - 3}} = .... = ; \end{array}}$

και ισχύει $\displaystyle{\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left( {\exists x \in \Delta \left( {2,\varepsilon } \right)} \right):f\left( x \right) \ne 3}$
όπου Δ συμβολίζω την δακτυλική περιοχή ....
Νομίζω ότι το παράδειγμα που δίνει ο Χρήστος είναι κατάλληλο. Ας το διασαφηνίσουμε:

Από τον ορισμό της η μεταβλητή παίρνει μόνο ρητές τιμές, αφού $x\in\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad y=x+1\in\mathbb{Q}$ και $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad y=3\in\mathbb{Q}$ .
Έχουμε να υπολογίσουμε το όριο $\mathop {\lim }\limits_{\mathbb{Q}\ni y \to 3} \dfrac{y^2 - 9}{y - 3}$ , όπου οι συναρτήσεις ορίζονται μόνο στο $\mathbb{Q}$ και επομένως δεν εφαρμόζεται ο κανόνας L'Hôpital αφού οι συναρτήσεις δεν ορίζονται σε διάστημα* που περιέχει το όπως απαιτούν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.

(*) Το απαιτούν όλες οι διαφορετικές εκδοχές του θεωρήματος που γνωρίζω.

Το παράδειγμα είναι ατυχές.
Οταν λέμε ότι $f(x)\neq 3$ για

κοντά στο

σημαίνει .
Υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε

$x\in A\cap \left \{ x:0< \left | x-2 \right |< \delta \right \}\Rightarrow f(x)\neq 3$

οπου

το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

και το

είναι σημείο συσσώρευσης του

.

Το παραπάνω παράδειγμα δεν έρχεται σε καμία αντίφαση με τον κανόνα αλλαγής μεταβλητής σε όρια γιατί δεν πληρεί τις προυποθέσεις.

Γράφω και τον κανόνα.
Αν
1) $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$
2) $f(x)\neq b$ για

κοντά στο

3) $\lim_{x\rightarrow b}g(y)=c$

τότε $\lim_{x\rightarrow a}g(f(x))=c$
(εχω παραλείψη ορισμένα τεχνικά)
π.χ για τα σημεία συσσώρευσης και την σχέση του πεδίου τιμών της

με το πεδίο ορισμού της

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
grigkost έγραψε:
Christos.N έγραψε:... $\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x+1,x \in Q\\ 3,x \in R - Q \end{array} \right.,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 9}}{{f\left( x \right) - 3}} = .... = ; \end{array}}$

και ισχύει $\displaystyle{\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left( {\exists x \in \Delta \left( {2,\varepsilon } \right)} \right):f\left( x \right) \ne 3}$
όπου Δ συμβολίζω την δακτυλική περιοχή ....
Νομίζω ότι το παράδειγμα που δίνει ο Χρήστος είναι κατάλληλο. Ας το διασαφηνίσουμε:

Από τον ορισμό της η μεταβλητή παίρνει μόνο ρητές τιμές, αφού $x\in\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad y=x+1\in\mathbb{Q}$ και $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad y=3\in\mathbb{Q}$ .
Έχουμε να υπολογίσουμε το όριο $\mathop {\lim }\limits_{\mathbb{Q}\ni y \to 3} \dfrac{y^2 - 9}{y - 3}$ , όπου οι συναρτήσεις ορίζονται μόνο στο $\mathbb{Q}$ και επομένως δεν εφαρμόζεται ο κανόνας L'Hôpital αφού οι συναρτήσεις δεν ορίζονται σε διάστημα* που περιέχει το όπως απαιτούν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.

(*) Το απαιτούν όλες οι διαφορετικές εκδοχές του θεωρήματος που γνωρίζω.
Το παράδειγμα είναι ατυχές.

Σταύρο,

έχεις δίκιο. Αυτό που απαιτείται είναι μόνο $f(x)\neq b$ σε μια περιοχή του

και βέβαια οι προϋποθέσεις αλλαγής μεταβλητής (σύνθεσης ορίων) . Η συνέχεια της

δεν χρειάζεται. Ακόμα και αν η "μεταβλητή" y=f(x)

δεν ορίζεται σε ένα διάστημα που περιέχει το

, μπορούμε πάντοτε να επεκτείνουμε τις συναρτήσεις στις οποίες θέλουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα L'Hôpital σε κατάλληλο διάστημα.
Απολογούμαι λοιπόν για την απροσεξία μου.
Εν κατακλείδι.
Ναι μπορούμε και στην συγκεκριμένη άσκηση να αλλάξουμε μεταβλητή και να εφαρμόσουμε τον κανόνα L'Hôpital!

edit 14/5/2017 00:30 Διόρθωσα τον λανθασμένο ισχυρισμό μου.

Christos.N · #9

Επειδή Σταύρο έχεις δίκιο ως προς το παράδειγμα θα το αναδιατυπώσω:

$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x+1,x \in Q\\ -x+5,x \in R - Q \end{array} \right.,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 9}}{{f\left( x \right) - 3}} = .... = ; \end{array}}$

και ισχύει $\displaystyle{\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left( {\forall x \in \Delta \left( {2,\varepsilon } \right)} \right):f\left( x \right) \ne 3}$
όπου Δ συμβολίζω την δακτυλική περιοχή .

Διάβασα με προσοχή αυτά που γράψατε με τον Γρηγόρη παραπάνω, δεν σας κρύβω ότι δυσκολεύομαι να τα "χωνέψω".

#10

Christos.N έγραψε:...Διάβασα με προσοχή αυτά που γράψατε με τον Γρηγόρη παραπάνω, δεν σας κρύβω ότι δυσκολεύομαι να τα "χωνέψω".

Χρήστο καλησπέρα.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση ο Σταύρος έχει δίκιο. Τουτέστιν:

1) Κοίταξε τον κανόνα αλλαγής μεταβλητής σε όριο $\lim_{x\to a}g(f(x))$ (ή αλλιώς όριο συνθέτου συνάρτησης). Εκεί δεν απαιτείται η συνάρτηση

(με $\lim_{x\to a} f(x)=b$ ) που θα αντικατασταθεί να είναι συνεχής, αλλά μόνο $f(x)\neq b$ για μια περιοχή του

.
Επομένως θέτοντας y=f(x)

αρκεί να υπάρχει το $\lim_{y\to b} g(y)=\ell$ ώστε $\lim_{x\to a}g(f(x))=\ell$ .

2) Ακόμα κι αν η συνάρτηση $g(y)=\frac{f_1(y)}{f_2(y)}$ δεν ορίζεται παντού σε μια περιοχή του

μπορούμε πάντα να την επεκτείνουμε (ας πούμε $\tilde{y}$ την νέα μεταβλητή) ώστε τελικά η συνάρτηση $g(\tilde{y})=\frac{f_1(\tilde{y})}{f_2(\tilde{y})}$ να ορίζεται σε μια περιοχή του

. Αν τώρα οι συναρτήσεις $h_1(\tilde{y}), h_2(\tilde{y})$ είναι παραγωγίσιμες και πληρούνται για αυτές οι προϋποθέσεις του θεωρήματος L'Hospital προχωρούμε στην εφαρμογή του.

Christos.N · #11

Σε ευχαριστώ Γρηγόρη , όσο και τον Σταύρο βέβαια, κάθε μέρα λιγότερο αδαής.

Ερώτηση σε όριο

Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Re: Ερώτηση σε όριο

Μέλη σε σύνδεση