Κατανόησης (2)

#1

: function.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 1180 φορές

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης του σχήματος αποτελείται από δύο τεταρτοκύκλια με κέντρα τα $\displaystyle{O\,,\,K}$ .
Εξετάστε αν οι επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες .
α) Η $\displaystyle{f}$ έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{(0,4]}$
β) Η $\displaystyle{f}$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{(0,4]}$
γ) Η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{{{A}_{f}}}$
δ) Η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ στο $\displaystyle{{{A}_{f}}}$
ε) Η $\displaystyle{f}$ έχει ολικά ακρότατα
ζ) Η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται και ισχύει $\displaystyle{{{f}^{-1}}=f}$ στο $\displaystyle{(0,4]}$
( Αιτιολογείστε με συντομία την απάντησή σας στο (ζ))
Bonus ερώτημα : Βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$

#2

exdx έγραψε:function.png
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης του σχήματος αποτελείται από δύο τεταρτοκύκλια με κέντρα τα $\displaystyle{O\,,\,K}$ .
Εξετάστε αν οι επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες .
α) Η $\displaystyle{f}$ έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{(0,4]}$
β) Η $\displaystyle{f}$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{(0,4]}$
γ) Η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{{{A}_{f}}}$
δ) Η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ στο $\displaystyle{{{A}_{f}}}$
ε) Η $\displaystyle{f}$ έχει ολικά ακρότατα
ζ) Η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται και ισχύει $\displaystyle{{{f}^{-1}}=f}$ στο $\displaystyle{(0,4]}$
( Αιτιολογείστε με συντομία την απάντησή σας στο (ζ))
Bonus ερώτημα : Βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$

...Καλησπέρα

με μία απάντηση στο θέμα του Γιώργη

α) Σωστό αφού το $\Delta =(0,4]$ είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$

β) Σωστό αφού το διάστημα (0,4]

είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$

γ) Λάθος αφού στο ${{\Delta }_{1}}=(0,2)$ είναι γνήσια φθίνουσα και στο ${{\Delta }_{2}}=[2,\,4]$

δ) Σωστό αφού κάθε οριζόντια ευθεία έχει με την γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ το πολύ ένα κοινό σημείο.

ε) Σωστό αφού ισχύει $f(x)\le f(2)=4,\,x\in (2,\,4]$

ζ) Σωστό αφού είναι η

είναι $\displaystyle{1-1}$ και η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ είναι συμμετρική ως προς την ευθεία y=x

(

)

Bonus H εξίσωση του κύκλου με κέντρο το $O(0,\,0)$ και ακτίνα $\rho =2$ έχει αναλυτική εξίσωση ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$

και για το τεταρτοκύκλιο πάνω από τον {x}'x

στο διάστημα $(0,\,2)$ είναι ${{y}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$

Επίσης η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το $K(4,\,4)$ και ακτίνα $\rho =2$ έχει αναλυτική εξίσωση ${{(x-4)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=4$

και για το τεταρτοκύκλιο κα΄τω από την ευθεία y=2

και πάνω από την ευθεία y=2

στο διάστημα $[2,\,4]$ είναι

${{(y-4)}^{2}}=4-{{(x-4)}^{2}}\Leftrightarrow |y-4|=\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}}\overset{2\le y\le 4}{\mathop{\Leftrightarrow }}\, -(y-4)=\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow y=4-\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}}$ επομένως ο τύπος της συνάρτησης είναι

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} & \sqrt{4-{{x}^{2}}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0<x<2 \\ & 4-\sqrt{4-{{(x-4)}^{2}}},\,\,\,2\le x\le 4 \\ \end{matrix} \right.$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Γιώργη, Βασίλη καλησπέρα.

Μια μικρή παρατήρηση για τη διατύπωση της ερώτησης (ε);

Όταν λέμε: "η συνάρτηση έχει ολικά ακρότατα" (με απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ), εννοούμε: "ΝΑΙ, αν έχει ένα τουλάχιστον, ή ΝΑΙ αν υπάρχουν και τα δύο;

Αν π.χ. παρακάτω υπήρχε η (αληθής) πρόταση: "Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο.", νομίζω ότι υπάρχει αντίφαση με τον χαρακτηρισμό της πρότασης (ε) ως αληθή.

Νομίζω ότι θα πρέπει να γραφεί: "η συνάρτηση έχει ολικό ακρότατο.".

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Γιώργη, Βασίλη καλησπέρα.

Μια μικρή παρατήρηση για τη διατύπωση της ερώτησης (ε);

Όταν λέμε: "η συνάρτηση έχει ολικά ακρότατα" (με απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ), εννοούμε: "ΝΑΙ, αν έχει ένα τουλάχιστον, ή ΝΑΙ αν υπάρχουν και τα δύο;

Αν π.χ. παρακάτω υπήρχε η (αληθής) πρόταση: "Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο.", νομίζω ότι υπάρχει αντίφαση με τον χαρακτηρισμό της πρότασης (ε) ως αληθή.

Νομίζω ότι θα πρέπει να γραφεί: "η συνάρτηση έχει ολικό ακρότατο.".

Καλησπέρα (ή μάλλον Καλημέρα) σε όλους!

Συμφωνώ ότι η ερώτηση (ε) μπορεί να ερμηνευθεί με δύο τρόπους. Όπως είναι διατυπωμένη, νομίζω ότι είναι Λάθος (από τη στιγμή που δεν έχει ολικό ελάχιστο). Πιστεύω ότι θα' πρεπε να γραφεί: "η συνάρτηση έχει τουλάχιστον ένα ολικό ακρότατο" ή όπως το διατύπωσε ο Γιώργος Ρίζος (αν θέλουμε να είναι Σωστό).

#5

Καλημέρα σε όλους
Για το (ε)
Το διατύπωσα έτσι για να είναι η απάντηση "Λάθος"
Είχα υπόψιν το $\displaystyle{m \le f(x) \le M}$ , οπότε η σύζευξη είναι λάθος αφού
η μία πρόταση είναι ψευδής .
Αν , τώρα , με τη χρήση του "έχει" δεν είναι εμφανής η σύζευξη , θα το αλλάξω .

Παρεμφερές : Η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f(x) = {x^2} + 1}$ τέμνει τους άξονες . Σ ή Λ ;

Κατανόησης (2)

Κατανόησης (2)

Re: Κατανόησης (2)

Re: Κατανόησης (2)

Re: Κατανόησης (2)

Re: Κατανόησης (2)

Μέλη σε σύνδεση