Συναρτησιακή

ann79 · #1

Καλημέρα. Αν η

έχει πεδίο ορισμού το

και ισχύει $f(x+y)=f(x)e^{y}+f(y)e^{x}+a$ για κάθε x,y

, να βρεθεί το f(0)

.

#2

ann79 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2017 8:46 am
Καλημέρα. Αν η έχει πεδίο ορισμού το και ισχύει $f(x+y)=f(x)e^{y}+f(y)e^{x}+a$ για κάθε , να βρεθεί το .

Καλημέρα.

Παρόμοια είχε τεθεί στις εξετάσεις

ης δέσμης το 1997

Θέτουμε στη δοθείσα σχέση y=0

και στη συνέχεια x=y=0

και τελικά θα βγει $\boxed{f(0)=0}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μπορούμε και να τις βρούμε.

Αν θέσουμε $g(x)=f(x)e^{-x}$

τότε έχουμε g(x+y)=g(x)+g(y)

γνωστή συναρτησιακή που μπορούμε να περιγράψουμε τις λύσεις .

Αν δε περιοριστούμε σε συνεχείς(η φραγμένες τοπικά η μετρήσιμες)

τότε $f(x)=axe^{x}$

#4

Να σημειώσω ότι το

που γράφει ο Σταύρος είναι το f'(0)

και όχι το

της άσκησης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2017 12:06 pm
Να σημειώσω ότι το που γράφει ο Σταύρος είναι το και όχι το της άσκησης.

Πολύ σωστά. Ευχαριστώ Γιώργο. Το έγραψα γρήγορα και δεν το παρατήρησα.

ann79 · #6

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Από τη συναρτησιακή για y=0

και

στο

προκύπτει $f(0)e^{x}=f(0)$ . Από εδώ είναι f(0)=0

επειδή η σχέση $e^{x}=1$ δεν επαληθεύεται για κάθε

πραγματικό αλλά μόνο για x=0

, έτσι το δικαιολογούμε;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Αν θέσουμε y=0

προκύπτει

$f(x)=f(x)+f(0)e^{x}+a$

δηλαδή $0=f(0)e^{x}+a$ .

Αν $f(0)\neq 0$ προκύπτει ότι $e^{x}$ σταθερή ΑΤΟΠΟ.

Αρα f(0)=0

και