Άσκηση στα όρια (1)

#1

Έστω

δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το $\mathbb R.$ Εξετάστε αν είναι πάντα αληθής ο ισχυρισμός:

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=+\infty}$

Αφιερωμένη στον Νίκο Ζανταρίδη

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ΚΑΛΟ

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Είναι φανερό ότι για a,b

πραγματικούς ισχύει

$max(a,b)=\dfrac{a+b+\left | a-b \right |}{2},min(a,b)=\dfrac{a+b-\left | a-b \right |}{2}$
(η απόδειξη είναι απλή. Διακρίνουμε περιπτώσεις για την διάταξη τους.)

Αν θέσουμε 2r(x)=[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]

τότε

Αρα $(r(x)-f(x))(r(x)-g(x))=0,x\in \mathbb{R}$

Εφαρμόζοντας την
viewtopic.php?f=52&t=60127
για δύο συναρτήσεις παίρνουμε ότι

$\lim_{x\to x_0}r(x)=+\infty}$

που μας δείχνει ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής.

#4

Σταύρο σε ευχαριστώ!
Θα χρησιμοποιήσω την εξής παρατήρηση:

Αν $\rm a,b>0$ και $\rm x=min \left \{a,b \right \}$ τότε $\rm \dfrac{1}{x}=max \left \{\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right \}.$

Είναι $\rm f(x),g(x)>0$ κοντά στο $\rm x_0.$ Θέτοντας $\rm h(x)=min \left \{f(x),g(x) \right \}$ είναι $\rm \dfrac{1}{h(x)}=max \left \{\dfrac{1}{f(x)},\dfrac{1}{g(x)}\right \}$ κοντά στο $\rm x_0.$ Από τον τύπο που αναφέρει ο Σταύρος προκύπτει αμέσως ότι $\rm \displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{1}{h(x)}=0}.$ Όμως $\rm h(x)>0$ κοντά στο $\rm x_0,$ οπότε $\rm \displaystyle{\lim_{x\to x_0}h(x)=+\infty}.$

Μια διαπραγμάτευση του Νίκου Ζανταρίδη σε παραπλήσιο ζήτημα.

Άσκηση στα όρια (1)

Άσκηση στα όρια (1)

Re: Άσκηση στα όρια (1)

Re: Άσκηση στα όρια (1)

Re: Άσκηση στα όρια (1)

Μέλη σε σύνδεση