Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Να δειχθει ότι για κάθε πραγματικό ισχύει
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θεωρώ την συνάρτηση , 2φορές παραγωγίσιμη με
και .
Είναι για κάθε , συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα.
Επίσης . Άρα για κάθε , επομένως η η είναι γνησίως φθίνουσα στο .
Ακόμη για κάθε , επομένως η η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Συνεπώς η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το .
Άρα ισχύει
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
(Υποθέτω είναι εκτός φακέλου οι υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις).
Θέτοντας η ανισότητα γίνεται .
Η είναι άρτια και ισχύει καθώς και . Η παράγωγος είναι ομόσημη του οπότε το είναι ολικό ελάχιστο.
Θέτοντας η ανισότητα γίνεται .
Η είναι άρτια και ισχύει καθώς και . Η παράγωγος είναι ομόσημη του οπότε το είναι ολικό ελάχιστο.
τελευταία επεξεργασία από dement σε Πέμ Ιαν 25, 2018 7:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Έστω με ,
πάντα.
Συνεπώς η στρέφει άνω τα κοίλα στο και αφού έχει εφαπτομένη στο την ευθεία με εξίσωση για κάθε , .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Με ολοκληρώματα.
Εστω και
Είναι
και
Για είναι και επειδή ολοκληρώνοντας παίρνουμε την ζητούμενη.
(η μπορεί να όρισθεί στο ώστε να είναι συνεχής)
Για πάλι είναι .
Ολοκληρώνοντας παίρνουμε .
Αρα και πολλαπλασιάζοντας με παίρνουμε την ζητούμενη.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Γεια σου Γιώργο.
Λύση εντός φακέλου υπάρχει αλλά μόνο για τους παλιούς.
Συγκεκριμένα επειδή έχουμε πρέπει να έχουμε ανισότητα για
Δεν θυμάμαι αν ήταν στη σχολική ύλη αλλά όταν ήμουν μαθητής γνώριζα ότι
Εφαρμόζοντας την Bernouli έβγαινε ότι
Παίρνοντας την αριστερή για και την δεξιά για βγαίνει.
Με τα σημερινά δεδομένα και έτσι όπως είναι η σχολική ύλη θα μου προξενούσε μεγάλη έκπληξη
να υπάρχει λύση χωρίς παραγώγους η ολοκληρώματα.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Για το παραπάνω ισχύει ως ισότητα. Για αρκεί να δειχθεί ότι:
Από τη γνωστή ανισότητα με θέτουμε και έχουμε:
οπότε αρκεί να δειχθεί . Πράγματι , έχουμε:
το οποίο ισχύει διότι .
Για αρκεί να δειχθεί . Είναι για κάθε . Άρα . Αν είναι . Αφού για είναι:
οπότε ισχύει
και αρκεί να δειχθεί ότι το οποίο ισχύει αφού ισοδυναμεί με .
Χμμ... έμμεσα περνάει ο διαφορικός ε; Αφού χρειαζόμαστε τις δύο βασικές ανισότητες... Τις είχα θεωρήσει δεδομένες για αυτό έβαλα το θέμα στο φάκελο εδώ. Anyway, το πήρα από τον Ευκλείδη Β , τεύχος 104.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Σταύρο ,
αυτό πώς βγαίνει ; Το χω δει πολλές φορές και το χω χρησιμοποιήσει ουκ ολίγες ειδικά σε υπολογισμό ολοκληρώματος. Αλλά πότε δε κατάλαβα πώς βγαίνει;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Υπόδειξη: Για ευκολία άλλαξε το όνομα της μεταβλητής (παρακάτω θα καταλάβεις γιατί (*)) και ζήτα το .
Γράψε το ως ή ακόμα καλύτερα . Συσχέτισε το τελευταίο με την παράγωγο του στο .
(*) H η παράγωγος είναι, βέβαια, ως προς . Αν δεν αλλάζαμε το όνομα της μεταβλητής θα ψάχναμε την παράγωγο ως προς της
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες