Απορία σε όριο

tsalikdimd · #1

Θα ήθελα να μου πείτε πως υπολογίζεται το όριο

$\displaystyle \lim_{x\to 0 }\frac{\sin^2 x-x^2}{x^2\sin^2 x}$

Ευχαριστώ

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Αν και απεργώ σήμερα θα δώσω μια λύση,

α. Γνωρίζουμε ότι,

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sigma \upsilon \nu \chi - 1}}{{{\chi ^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \eta \mu \chi }}{{2\chi }} = - \frac{1}{2}}$ με Χοσπιτάλιτι σφού είναι 0/0

β. Επίσης,

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu \chi - \chi }}{{{\chi ^2}\eta \mu \chi }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sigma \upsilon \nu \chi - 1}}{{2\chi \eta \mu \chi + {\chi ^2}\sigma \upsilon \nu \chi }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sigma \upsilon \nu \chi - 1}}{{{\chi ^2}}}}}{{\frac{{2\chi \eta \mu \chi }}{{{\chi ^2}}} + \frac{{{\chi ^2}\sigma \upsilon \nu \chi }}{{{\chi ^2}}}}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{2 + 1}} = - \frac{1}{6}}$ (με με Χοσπιτάλιτι σφού είναι 0/0)

γ. Τέλος,

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu \chi + \chi }}{{\eta \mu \chi }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\eta \mu \chi }}{\chi } + \frac{\chi }{\chi }}}{{\frac{{\eta \mu \chi }}{\chi }}} = \frac{{1 + 1}}{1} = 2}$

Άρα το ζητούμενο όριο γίνεται, $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta {\mu ^2}\chi - {\chi ^2}}}{{{\chi ^2}\eta {\mu ^2}\chi }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\left( {\frac{{\eta \mu \chi - \chi }}{{{\chi ^2}\eta \mu \chi }}} \right) \cdot \left( {\frac{{\eta \mu \chi + \chi }}{{\eta \mu \chi }}} \right)} \right] = - \frac{1}{6} \cdot 2 = - \frac{1}{3}}$

τα όρια "σπάμε", αφού υπάρχουν (τα υπολογίσαμε πιο πριν)

#3

tsalikdimd έγραψε:Θα ηθελα να μου πειτε πως υπολογιζεται το οριο του χ τεινοντος στο μηδεν της ρητης παραστασης με αριθμητη ημιτονο τετραγωνο χ μειον χ τετραγωνο και παρονομαστη χ τετραγωνο επι ημιτονο τετραγωνο χ

Ευχαριστω

Μπορείς για ευκολία να διαιρέσεις αριθμητή - παρονομαστή με x^4

.Ο παρονομαστής έχει προφανώς όριο 1 και τελειώνεις , χωρίς καν τον κανόνα. Στη συνέχεια , με τον κανόνα de L' Ηospital , θα βρεις το όριο του αριθμητή.

Το όριο αυτό ,με διαδοχικές εφαρμογές και γράφοντας για μεγάλη ευκολία (!) στην πρώτη εφαρμογή του κανόνα (sin^2x)' = sin 2x

, βγαίνει ίσο με $-\frac {1}{3}$ .

Έγραφα ταυτόχρονα με το Μάκη , αλλά αφήνω τη σκέψη.

Μπάμπης

#4

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Αν και απεργώ σήμερα θα δώσω μια λύση,

Απεργούμε και από το

Μάκη;;;;;

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Εδώ δεν υπάρχει λόγος Χρήστο, σωστά;

#6

Καλημέρα!

Μήπως η εφαρμογή του Del'Hospital στο α) δεν είναι επιτρεπτή;
(Σύμφωνα πάντα με τη δομή που χρησιμοποιεί και ξετυλίγει το σχολικό βιβλίο;;)

Λεπτομέρεια θα μου πείς, αλλά είναι ο ορισμός της κυκλικής σκέψης.

Αλήθεια, αν ένας μαθητής το αντιμετώπιζε έτσι στις επερχόμενες εξετάσεις θα του το έπιαναν σωστό;

Απορία

( Η δική μου εντύπωση είναι όχι.)

Y.Γ Εκτός κι αν ο Μάκης κάνει Del'Hospital μόνο στο πρώτο και μετά χρησιμοποιεί το όριο του λόγου ημχ/χ στο μηδέν.

Μάκης Χατζόπουλος · #7

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα!

Μήπως η εφαρμογή του Del'Hospital στο α) δεν είναι επιτρεπτή;
(Σύμφωνα πάντα με τη δομή που χρησιμοποιεί και ξετυλίγει το σχολικό βιβλίο;;)

Λεπτομέρεια θα μου πείς, αλλά είναι ο ορισμός της κυκλικής σκέψης.

Αλήθεια, αν ένας μαθητής το αντιμετώπιζε έτσι στις επερχόμενες εξετάσεις θα του το έπιαναν σωστό;

Απορία ( Η δική μου εντύπωση είναι όχι.)

Y.Γ Εκτός κι αν ο Μάκης κάνει Del'Hospital μόνο στο πρώτο και μετά χρησιμοποιεί το όριο του λόγου ημχ/χ στο μηδέν.

Χρήστο, εννοείται ότι ο Ντε Χοσπιτάλιτι τον εφαρμόζω στο πρώτο βήμα, απλά δεν μπορούσα να παρακάψω το Mathtype για να γράψω κείμενο...

#8

Γενικό σχόλιο :

Με αφορμή την κουβέντα των δύο εκλεκτών φίλων και συναδέλφων , θέλω να σημειώσω ότι το έχουμε αναλύσει και παλιά αυτό το θέμα.
Έχει πει και τη γνώμη του ο Μιχάλης Λάμπρου, του οποίου επικαλεστήκαμε τη βοήθεια στο παλιό mathematica.
Δεν τίθεται κατά τη γνώμη μου πουθενά ζήτημα φαύλου κύκλου από καθαρά(το τονίζω) μαθηματική άποψη. Η παράγωγος του ημχ μπορεί να υπολογιστεί , αν ορίσουμε διαφορετικά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, χωρίς να χρειαστούμε το όριο του κλάσματος ημχ/χ. Εκτός αυτού , όπως το επισημάνατε , το όριο αυτό είναι γνωστό σε σχολικό επίπεδο από τη θεωρία. Αλλά και να το ξανα υπολογίσει ένας μαθητής με τον κανόνα, θα είναι τελείως παράλογο να τεθεί στη μαθηματική κοινότητα ζήτημα για το αν μια τέτοια λύση θα γίνει εξ΄ολοκλήρου δεκτή.
Οι μαθητές μπορούν λοιπόν να εφαρμόζουν τον κανόνα όποτε εφαρμόζεται, χωρίς τον αγωνία μήπως έμμεσα γίνεται ... φαύλος κύκλος.
Αυτές οι λεπτομέρειες είναι δικό μας μέλημα και όχι των μαθητών ή των εξετάσεων.Αν ούτε αυτό γίνεται αντιληπτό, έχουμε ως κοινωνία πολύ βαθύτερο πρόβλημα από ό,τι νομίζουμε.Θέλω να πιστεύω ότι και οι δύο συνάδελφοι έχουν παρόμοια άποψη, πως δηλαδή στις εξετάσεις δεν πρέπει να υπάρξει η παραμικρή αμφιβολία σχετικά με τον τρόπο βαθμολόγησης ενός τέτοιου ερωτήματος(έστω και αν μέσα στα αυστηρά σχολικά πλαίσια πρόκειται για φαύλο κύκλο. Το ίδιο συμβαίνει βέβαια και με το άλλο βασικο όριο (e^x-1)/χ στο μηδέν , αλλά ποιος μαθητής μπορεί υποχρεούταινα γνωρίζει τέτοια λεπτά σημεία

.

Μπάμπης

#9

Απάντηση στο γενικό σχόλιο
Μπάμπη μήπως δε θυμάσαι καλά;
Αν ανοίξεις το βιβλίο με μαθηματικά κατεύθυνσης που έχει κυκλοφορήσει ο Μ.Λάμπρου το παρουσιάζει σαν ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα φαύλου κύκλου. Δυστυχώς δεν το έχω μαζί μου για να σου πω τη σελίδα.
Εγω το είχα πρωτακούσει απο τον Γ.Πολύζο στο σεμινάριο αδιόριστων καθηγητών της Ε.Μ.Ε, ως ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα φαύλου κύκλου. Είχε τονίσει πως δεν είναι σωστό.
Τώρα αν δεν καταλαβαίνω τι διαβάζω ή τι μου λένε, αυτό είναι ένα θέμα που πρέπει να το εξετάσει ο γιατρός.

Συγνώμη απο τους μαθητές, αν τους μπέρδεψα!
Επέλεξα και λαθος χρονική στιγμή...
Όσον αφορά το πρόβλημα της κοινωνίας, αυτό είναι δεδομένο απο τη στιγμή που υπάρχει η εκμετάλλευση του ενός απο τον άλλο.

#10

Παρακαλώ τους μαθητές να αγνοήσουν το κείμενο που ακολουθεί .

Καλά, αφού ανοίχτηκε το ζήτημα, ας το ξεκαθαρίσουμε μια για πάντα .
α) Το ζήτημα με τον φαύλο κύκλο στη χρήση του κανόνα de L'Hospital πρωτοεμφανίστηκε στα μεταπολιτευτικά χρόνια στην περίοδο των Δεσμών. Τα τότε σχολικά βιβλία ήταν πολύ αυστηρά στη θεμελίωση των εννοιών και σε επίπεδο καθηγητών είχε κάποιο νόημα η συζήτηση αυτού του θέματος.

β) Στη δεκαετία του 1990 το θέμα συνέχιζε να έχει ακόμα ενδιαφέρον. Κάθε νέος μαθηματικός που το συναντούσε θεωρούσε πως με αυτή τη διαπίστωση άνοιγαν οι μαθηματικοί του ορίζοντες και πως από κει και πέρα ελάχιστα νέα πράγματα είχε ακόμα να μάθει (!!!). Ξέρετε τι συμβαίνει σε αυτές τις περιπτώσεις και δεν σχολιάζω περισσότερο.

γ) Με το νέο σύστημα εξετάσεων (των κατευθύνσεων) και το νέο σχολικό βιβλίο , έγινε μια προσπάθεια να περάσουμε στην ουσία και την όμορφη πλευρά των μαθηματικών, αφήνοντας σκόπιμα στην άκρη υπερβολές και ακατανόπητες λεπτομέρειες που απομακρύνουν το μαθητή από τη μαθηματική τέχνη, δίνοντας στον Καθηγητή χρόνο να αναδείξει στη διδασκαλία του άλλα πολύ σοβαρά ζητήματα της σχολικής ύλης και κυρίως των εφαρμογών(κάτι που βέβαια δεν έγινε, παρά ελάχιστα!).

δ) Έγραψα παραπάνω ότι από καθαρά μαθηματική απόψη ο φαύλος κύκλος δεν υπάρχει, διότι υπάρχουν διάφοροι τρόποι θεμελίωσης των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με τους οποίους η παράγωγος της συνάρτησης y= ημχ γίνεται χωρίς χρήση του ορίου ημχ/χ. Για παράδειγμα στο κλασικό βιβλίο του Spivak και στις σελίδες 258 - 259 γίνεται μια άλλη καθαρά μη γεωμετρική θεμελίωση των τριγωνομετρκών συναρτήσεων , στην οποία πρώτα υπολογίζεται η παράγωγος του ημχ και στη συνέχεια όλα τα άλλα.Υπάρχουν όμως και άλλες δύο τουλάχιστον θεμειλώσεις που γνωρίζω, οι οποίες οδηγούν στο ίδιο συμπερασμα. Μαθηματικό λοιπόν ζήτημα για φαύλο κύκλο δεν υπάρχει.

ε) Με βάση τη θεμελίωση που περιέχει στο νέο σχολικό βιβλίο και η οποία βασίζεται στην εποπτεία , η χρήση του κανόνα de L'Hospital στα όρια ημχ/χ και (e^χ-1)/χ καθώς το χ τείνει στο μηδέν είναι φαύλος κύκλος .Αυτό βέβαια είναι αδύνατο να το γνωρίζει ένας μαθητής, όπως δεν το γνώριζαν χιλιάδες μαθηματικοί , μέχρι να το συναντήσουν μέσα σε μια εκπαιδευτική πορεία είκοσι ετών και πάνω.(Οι πιο τυχεροί και κάπως νεότεροι εκείνη την εποχή το μαθαμε μέσα στα 5-10 χρόνια της παρουσίας μας στον πίνακα, αλλά αυτό σε τίποτα δεν μειώνει το γεγονός ότι τελειώνοντας το Πανεπιστήμιο δεν το γνωρίζαμε για να το τονίσουμε με έμφαση στους μαθητές μας. Η επικοινωνία με το διαδύκτιο ήταν τότε ανύπαρκτη και αυτό ας μη μας διαφεύγει !). Αν λοιπόν κάποιος μείνει καθηλωμένος σε αυτά τα περιορισμένα σχολικά πλαίσια έχει δίκαιο να επιμένει ότι η χρήση του κανόνα σε αυτά τα όρια είναι λανθασμένη.

στ) Για το τι θα πρέπει να κάνει η μαθηματική κοινότητα, αν συναντήσει στις εξετάσεις γραπτό μαθητή που θα υπολογίσει κάποιο από τα παραπάνω όρια με αυτόν τον τρόπο, έχω ήδη απαντήσει. Τουλάχιστον, όσον αφορά το άτομό μου , ήμουν ξεκάθαρος. Δεν θέλω όμως να επηρεάσω κανέναν και αφήνω τον καθένα , όπως μου επιτάσσει άλλωστε η συναδελφική σχέση , να πράξει σύμφωνα με τη συνείδησή του.

Μπάμπης

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Χρήστο αν πάρουν οι μαθητές σου De Ηospital στο όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{{{x^2} + x}}}$
θα τους κόψεις μονάδες;

#12

H γνώμη μου είναι ότι ο Μπάμπης έχει δίκιο. Εξηγώ γιατί:
Αν ένα πανεπιστημιακό βιβλίο ξεκινούσε από τον γεωμετρικό ορισμό του ημίτονου, αποδείκνυε ότι $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu x}{x}=1$ και στην συνέχεια χρησιμοποιούσε το αποτέλεσμα αυτό για να βρει την παράγωγο του ημιτόνου τότε δεν θα νομιμοποιείτο αν κάπου παρακάτω έκανε χρήση του κανόνα De l' Hospital για να "ξανα υπολογίσει" το όριο $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu x}{x}=1$ . Σε μια τέτοια περίπτωση οι αιτιάσεις του Χρήστου θα ήσαν απολύτως βάσιμες. Διότι ένα μαθηματικά δομημένο βιβλίο οφείλει να σέβεται και την αρχιτεκτονική με την οποία έχουν δομηθεί οι αποδείξεις.
Η περίπτωση του σχολικού βιβλίου είναι διαφορετική. 'Εχει μεν την σειρά ενός ας πούμε προπτυχιακού πανεπιστημιακού βιβλίου αλλά έχουν αφαιρεθεί πλείστες αποδείξεις. Επομένως ο μαθητής-αναγνώστης αγνοεί τι κρύβεται πίσω από αυτή την σειρά κάτι που ένας επαγγελματίας μαθηματικός γνωρίζει (ή οφείλει να γνωρίζει). Επομένως δεν τίθεται θέμα αν ο μαθητής παραβιάσει αυτήν την (εξ' άλλου αφανή) αρχιτεκτονική όταν λύνει κάποια άσκηση. Στην θεωρία τα πράγματα είναι διαφορετικά: Ακριβώς επειδή δεν γνωρίζει τα κρυμμένα βήματα οφείλει να κάνει περίπου αναπαραγωγή των αποδείξεων του βιβλίου. Αυτή η (εξεταστική) απαίτηση είναι μία διανοητική διαστροφή αλλά η κουβέντα της δεν είναι της ώρας.
Στο βιβλίο του Μιχάλη Λάμπρου (Δαμβακάκις, Κτιστάκης, Λάμπρου, Σπανουδάκης: Επαναληπτικά Θέματα στα Μαθηματικά Γ΄Λυκείου, Καγκουρό Ελλάς, 2008) σελίδα 13 τίθεται το ερώτημα
"Γιατί το σχολικό βιβλίο δεν βασίζεται στην ευκολότερη αυτή απόδειξη (*) αλλά προτιμά την πιο δύσκολη γεωμετρική απόδειξη που σκιαγραφήσαμε παραπάνω; Δεν είναι επιτρεπτή η χρήση του κανόνα De l' Hospital;"
((*) αναφέρεται στην εύρεση του ορίου $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu x}{x}$ με τον κανόνα De l' Hospital.
και δίνει μία αναλυτική απάντηση του γιατί όπου αναφέρεται γιατί είναι κυκλικός συλλογισμός. Αλλά, επαναλαμβάνω, η ναφορά γίνεται στο σχολικό βιβλίο και όχι στο τί μέσα θα χρησιμοποιήσει ο μαθητής για να λύσει μία άσκηση. Ο μαθητής νομιμοποιείται, σε άσκηση, να χρησιμοποιήσει τον κανόνα του De l' Hospital ακόμη και για να βρει το όριο $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}$ .
Μαυρογιάννης

#13

Μιας και συνεχίζεται η συζήτηση εδώ να προσθέσω και εγώ την άποψή μου. (Την είχα στείλει χθες με pm στον Χρήστο.) Δυστυχώς δεν έχω το σχολικό βιβλίο για να δω πως αντιμετωπίζεται το όλο θέμα. (Το κατέβασα χθες αλλά δυστυχώς ήταν σε .doc και για εμένα που δεν έχω word τα μαθηματικά σύμβολα και οι εικόνες ήταν σχεδόν αδύνατο να διαβαστούν.)

Demetres έγραψε:Θέμα: Απορια σε οριο

Χρήστο, απαντάω εδώ για να μη μπερδέψουμε κι' άλλο τους μαθητές. (Έτσι κι' αλλιώς εγώ δεν γνωρίζω ποια είναι η ενδεδειγμένη αντιμετώπιση του θέματος για τις εξετάσεις.)

Άποψη μου είναι ότι μπερδεύουμε δυο πράγματα.

Άσκηση 1) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}}$

Λύση 1) Από L'Hopital $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos{x}}{1} = 1}$

Θεωρώ ότι εδώ δεν υπάρχει κανένας φαύλος κύκλος. Ότι η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο θεωρείται γνωστό.

Άσκηση 2) Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης $f(x) = \sin{x}$

Λύση 2) $\displaystyle{f{'}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\sin(x) \frac{\cos{h} - 1}{h} + \lim_{h \to 0} \cos{x} \frac{\sin{h}}{h}}$ . Αλλά από L'Hopital, $\displaystyle{\lim_{h \to 0}\sin(x) \frac{\cos{h} - 1}{h} = \sin{x} \lim_{h \to 0} \frac{-sin{h}}{1} = 0}$ και $\displaystyle{\lim_{h \to 0} \cos{x} \frac{\sin{h}}{h} = \cos{x} \lim_{h \to 0} \frac{\cos{h}}{1} = \cos{x}}$ . Άρα $f{'}(x) = \cos{x}$

Εδώ ασφαλώς και υπάρχει φαύλος κύκλος. Μου ζητήθηκε να βρω την παράγωγο του ημιτόνου και εγώ στην απόδειξη την θεώρησα γνωστή.

Άποψή μου είναι ότι πρόβλημα υπάρχει μόνο στην λύση 2 και όχι στην λύση 1.

Να προσθέσω ότι συμφωνώ με την τελευταία άποψη που εξέφρασε ο Νίκος Μαυρογιάννης

nsmavrogiannis έγραψε:Ο μαθητής νομιμοποιείται, σε άσκηση, να χρησιμοποιήσει τον κανόνα του De l' Hospital ακόμη και για να βρει το όριο $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}$ .
Μαυρογιάννης

Ακόμη όμως και αν εγώ ο Νίκος και ο Μπάμπης κάνουμε κάπου κάποιο μαθηματικό λάθος θα συμφωνήσω με αυτό που λέει ο Μπάμπης

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Αυτές οι λεπτομέρειες είναι δικό μας μέλημα και όχι των μαθητών ή των εξετάσεων.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #14

Καλημέρα και συγνώμη για τη παρέμβαση.
Ζητήθηκε η βοήθεια για τον υπολογισμό ενός ορίου. Η απάντηση δόθηκε.
Μήπως το υπόλοιπο μέρος της συζήτησης θα πρέπει να μεταφερθεί σε άλλο φάκελλο, ίσως στο φάκελλο του καθηγητή;
Θ.Ρ

#15

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλημέρα και συγνώμη για τη παρέμβαση.
Ζητήθηκε η βοήθεια για τον υπολογισμό ενός ορίου. Η απάντηση δόθηκε.
Μήπως το υπόλοιπο μέρος της συζήτησης θα πρέπει να μεταφερθεί σε άλλο φάκελλο, ίσως στο φάκελλο του καθηγητή;
Θ.Ρ

Υπάρχει πράγματι ένα πρόβλημα με τις συζητήσεις στο mathematica. Επειδή είναι ζωντανές συζητήσεις το ένα φέρνει το άλλο. Και από αλλού ξεκινάνε και αλλού καταλήγουν. Πάντως είναι δύσκολο να χωρίζει σε ένα θέμα το μαθηματικά σχετικό μέρος με το επίσης μαθηματικά άσχετο μέρος. 'Ισως πρέπει να βρούμε τρόπο να το κάνουμε. 'Οπως και το να διαχωρίζουμε από ένα μήνυμα το μαθηματικά σχετικό μέρος από το μη μαθηματικό και άσχετο μέρος που συχνά μας κατακλύζει.
Μαυρογιάννης

makisman · #16

εκτός αυτού ,λανθασμένα υποδεικνύεται από το σχολικό βιβλίο (σελ 282) ,οτι για τη συνάρτηση $f(x)=\frac{e^{x}-1}{x^{3}}$ δεν μπορούν να εφαρμοστούν οι συνηθισμένες μέθοδοι υπολογισμού ορίων . Αυτο φυσικά δεν ισχύει ,αφού μπορεουν να εφαρμοστουν κριτηρια παρεμβολής και αλλαγής μεταβλητής σε συνδυασμό με τη χρήση της $e^{x}\geq x+1$ έστω και αν αυτή μπορεί να αποδειχθεί μεταγενέστερα με παραγώγους

θεωρώ οτί πρέπει να τονίζεται προς τους μαθητές ότι o κανονας l'Hospital είιναι ενα σημαντικό εργαλείο για τον υπολογισμό ορίων ,δεν λύνει όμως τα πάντα. Δυστυχώς οι περισσότεροι μαθητές μόλις μάθουν τον συγκεκριμένο κανονα ξεχνουν και τις πιο βασικές γνώσεις ορίων (και πολλοί δεν ελέγχουν ούτε καν τις συνθήκες) .

Απορία σε όριο

Απορία σε όριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Re: Απορια σε οριο

Μέλη σε σύνδεση