Συναρτησιακή ...
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5252
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή ...
Έστω με τέτοια ώστε
(α) Να δειχθεί ότι η αντιστρέφεται.
(β) Να δειχθεί ότι η (i) η είναι γνησίως αύξουσα και (ii) η είναι περιττή.
(γ) Να λυθεί η ανίσωση
(α) Να δειχθεί ότι η αντιστρέφεται.
(β) Να δειχθεί ότι η (i) η είναι γνησίως αύξουσα και (ii) η είναι περιττή.
(γ) Να λυθεί η ανίσωση
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5965
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή ...
Απλά και AN ο Αποστόλης ως εισηγητής ΔΕΝ έχει κάποια αντίρρηση, μπορεί να τεθεί και το επιπλέον ερώτημα:Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 11, 2023 10:39 pmΈστω με τέτοια ώστε (α) Να δειχθεί ότι η αντιστρέφεται.
(β) Να δειχθεί ότι η (i) η είναι γνησίως αύξουσα και (ii) η είναι περιττή.
(γ) Να λυθεί η ανίσωση
Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
(*)
Και ένα of the record: Αν υπάρχει θα είναι επιπλέον αυτή συνεχής και παραγωγίσιμη;
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5252
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή ...
Καμία αντίρρηση Σωτήρη. Κουβέντα να γίνεται.S.E.Louridas έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 13, 2023 12:22 pmΑπλά και AN ο Αποστόλης ως εισηγητής ΔΕΝ έχει κάποια αντίρρηση, μπορεί να τεθεί και το επιπλέον ερώτημα:
Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
(*)
Και ένα of the record: Αν υπάρχει θα είναι επιπλέον αυτή συνεχής και παραγωγίσιμη;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή ...
α) Το α) εμπεριέχεται στο β) αφού, όπως θα αποδειχθεί, η είναι γνήσια αύξουσα και άρα . Ουσιαστικά αυτό που θέλουμε είναι να δείξουμε ότι η είναι , γενικότερα, γνήσια αύξουσα συνάρτηση του .Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 11, 2023 10:39 pmΈστω με τέτοια ώστε
(α) Να δειχθεί ότι η αντιστρέφεται.
(β) Να δειχθεί ότι η (i) η είναι γνησίως αύξουσα και (ii) η είναι περιττή.
(γ) Να λυθεί η ανίσωση
β) Η είναι γνήσια αύξουσα γιατί αν δεν μπορεί γιατί τότε . Άτοπο.
Επίσης,
. Άρα αφού η είναι . Δηλαδή η είναι περιττή.
γ) Απάντηση: Σύνολο λύσεων το . Πράγματι, είναι , οπότε και άρα . Με χρήση αυτoύ και του γεγονότος ότι η (οπότε και η ) είναι γνήσια αύξουσες, έχουμε
Για ισχύει
.
Δηλαδή η ανίσωση ικανοποιείται. Θα δείξουμε ακόμη ότι για η ανίσωση δεν ικανοποιείται. Η ιδέα είναι παραλλαγή της προηγούμενης γραμμής:
Λοιπόν, για έχουμε
, δηλαδή η ανάποδη ανισότητα.
Θέτουμε , η οποία αντιστρέφεται (το είδαμε). Έχουμε λοιπόν για κάθε ότι . Άρα . Δηλαδή η όχι μόνο υπάρχει, αλλά βρήκαμε και την μορφή της. Από αυτό έπεται και η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα: Ναι είναι συνεχής ως αντίστροφη συνεχούς, και μάλιστα από θεωρία (πόρισμα του κανόνα αλυσίδας) είναι παραγωγίσιμη εκτός εκεί που μηδενίζεται η (εδώ που δεν μηδενίζεται πουθενά).S.E.Louridas έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 13, 2023 12:22 pm
... μπορεί να τεθεί και το επιπλέον ερώτημα:
Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
(*)
Και ένα of the record: Αν υπάρχει θα είναι επιπλέον αυτή συνεχής και παραγωγίσιμη;
Edit: Έκανα διόρθωση σε ανακρίβειά μου.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιούλ 15, 2023 2:29 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συναρτησιακή ...
Έχω αμφιβολία για την εξής αντιμετώπιση του γ) , παρακαλώ πείτε μου και οι υπόλοιποι την άποψη σας:
και αφού η f είναι γνήσια αύξουσα
Όμως άρα
Θεωρώ την συνάρτηση
Εύκολα παρατηρούμε ότι η h είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και μάλιστα
Και επειδή η h είναι περιττή γνωρίζουμε ότι άρα οπότε η γίνεται :
και επειδή η h είναι γνήσια αύξουσα
και αφού η f είναι γνήσια αύξουσα
Όμως άρα
Θεωρώ την συνάρτηση
Εύκολα παρατηρούμε ότι η h είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και μάλιστα
Και επειδή η h είναι περιττή γνωρίζουμε ότι άρα οπότε η γίνεται :
και επειδή η h είναι γνήσια αύξουσα
Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται, όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, γιατί, ενώ οι γλώσσες πεθαίνουν, οι μαθηματικές ιδέες είναι διαχρονικές..
Χρήστος Κ.
Χρήστος Κ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή ...
Είναι όλα σωστά και καλά.
Ας επανέλθω με ένα σχόλιο στην δική μου λύση γιατί ίσως η κεντρική της ιδέα χάνεται μέσα στις λεπτομέρειες.
Η ιδέα είναι η εξής: Το αριστερό μέλος της ανίσωσης
είναι γνήσια αύξουσα συνάτρτηση (άμεσο) ενώ το δεξί είναι γνήσια φθίνουσα ως σύνθεση της γνήσιας αύξουσας και της γνήσια φθίνουσας . Άρα αν για κάποιο έχουμε ισότητα , τότε εύκολα βλέπουμε ότι το σύνολο λύσεων είναι τα . Όποτε ψάχνουμε ένα τέτοιο . Με απλές δοκιμές βλέπουμε ότι το μας κάνει. Τελειώσαμε.
-
- Δημοσιεύσεις: 3601
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συναρτησιακή ...
Παντού είναι παραγωγίσιμη γιατίMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιούλ 14, 2023 10:20 pmΘέτουμε , η οποία αντιστρέφεται (το είδαμε). Έχουμε λοιπόν για κάθε ότι . Άρα . Δηλαδή η όχι μόνο υπάρχει, αλλά βρήκαμε και την μορφή της. Από αυτό έπεται και η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα: Ναι είναι συνεχής ως αντίστροφη συνεχούς, και μάλιστα από θεωρία (πόρισμα του κανόνα αλυσίδας) είναι παραγωγίσιμη εκτός εκεί που μηδενίζεται η , δηλαδή (μόνο) στο .
Να σημειώσω ότι υπάρχουν τεχνικές που με ύλη Λυκείου δείχνουν ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.
Στο έχουν γραφεί.
Δεν θεωρώ σκόπιμο να γράψω πως προκύπτει αυτό σε αυτή την περίπτωση,γιατί δεν είναι στο πνεύμα
του Λυκείου.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή ...
Σωστά. Έκανα διόρθωση στην αρχική μου απάντηση. Ευχαριστώ.
Έγραφα μετά τα μεσάνυκτα και ... την πάτησα.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5965
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή ...
Πάντως μία τέτοια συνάρτηση είναι εκείνη που στον τυχόντα πραγματικό , αντιστοιχίζεται
π.χ. η μεγαλύτερη από τις πραγματικές ρίζες της αν υπάρχουν πάνω από μία ρίζες ή η μοναδική ρίζα αν δεν υπάρχει άλλη.
edit: Συμπλήρωσα το προφανές: ... ή η μοναδική ρίζα αν δεν υπάρχει άλλη
π.χ. η μεγαλύτερη από τις πραγματικές ρίζες της αν υπάρχουν πάνω από μία ρίζες ή η μοναδική ρίζα αν δεν υπάρχει άλλη.
edit: Συμπλήρωσα το προφανές: ... ή η μοναδική ρίζα αν δεν υπάρχει άλλη
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Σάβ Ιούλ 15, 2023 11:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή ...
Σωτήρη, σωστά αλλά ας επισημάνω ότι: Υπάρχει μόνο μία τέτοια συνάρτηση (δεν έχουμε επιλογή). Επίσης, η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα, οπότε δεν τίθεται θέμα να πάρουμε την μεγαλύτερη.S.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 15, 2023 5:14 pmΠάντως μία τέτοια συνάρτηση είναι εκείνη που στον τυχόντα πραγματικό , αντιστοιχίζεται
π.χ. η μεγαλύτερη από τις πραγματικές ρίζες της
Αυτά είναι ουσιαστικά γραμμένα στην απάντησή μου, στο σημείο:
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιούλ 14, 2023 10:20 pm
Θέτουμε , η οποία αντιστρέφεται (το είδαμε). Έχουμε λοιπόν για κάθε ότι . Άρα .
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5965
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή ...
Προφανώς Σωστά, απλά είχα στο μυαλό μου τη γενικότερη κατάσταση με πραγματικές σταθερές διάφορες του μηδέν (αν και θα μπορούσαμε να μπούμε και σε διερευνητική διαδικασία) αναφέροντας έτσι μία γενικότερη άποψη λύσης που λειτουργεί και εδώ χωρίς να χρειαστεί το 1-1. Ταυτόχρονα λειτουργεί και ο αρχικός ορισμός της έννοιας συνάρτηση ως ενός τρόπου ... Επειδή πιστεύω ότι είναι καλό να μη ξεχνάμε και τις στοιχειώδης αρχικές συμπεριφορές των μαθηματικών εννοιών και μεθόδων επίλυσης για ουσιαστικούς λόγους που θεωρώ ότι είναι κατανοητοί. Ο τρόπος βέβαια επίλυσης του Μιχάλη είναι ένας άριστος και ευφυής τρόπος επίλυσης, απλά εγώ αναφέρομαι στο σκεπτικό μου για τον λόγο που έθεσα τα επιπλέον ερωτήματα στο όμορφο πράγματι πρόβλημα που έθεσε ο Αποστόλης.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 15, 2023 6:26 pmΣωτήρη, σωστά αλλά ας επισημάνω ότι: Υπάρχει μόνο μία τέτοια συνάρτηση (δεν έχουμε επιλογή). Επίσης, η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα, οπότε δεν τίθεται θέμα να πάρουμε την μεγαλύτερη.S.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 15, 2023 5:14 pmΠάντως μία τέτοια συνάρτηση είναι εκείνη που στον τυχόντα πραγματικό , αντιστοιχίζεται
π.χ. η μεγαλύτερη από τις πραγματικές ρίζες της
Αυτά είναι ουσιαστικά γραμμένα στην απάντησή μου, στο σημείο:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιούλ 14, 2023 10:20 pmΘέτουμε , η οποία αντιστρέφεται (το είδαμε). Έχουμε λοιπόν για κάθε ότι . Άρα .
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Συναρτησιακή ...
Από το ΘΜΤ για την παίρνουμε
[1]
Από την [1] μπορούμε να δείξουμε
συνεχής [2]
παραγωγίσιμη [3]
[4]
[5]
μοναδική ρίζα [6]
[7]
[8]
[9]
Αποδείξεις
●Από [1] για , ο.ε.δ
●Από [1] , επειδή το ζητουμενο ισχυει
● αν από [1] και δεδομένου ότι η αντιστρεφεται στο R
● η [5] είναι αμεση συνεπεια της[1]
● η [6] είναι αμεση συνεπεια της[5] και
● για την [7] }\displaystyle{ ή }\displaystyle{ ή
}\displaystyle{,}\displaystyle{,}\displaystyle{που ισχυει αν θεσουμε }\displaystyle{
● για }\displaystyle{ από [1] ισχυει το ζητουμενο
● Για }\displaystyle{ και ετσι ισχυει η [9] σε ολο το R αφου }\displaystyle{
● }$ και εχει ρίζα το 2 αρα χ<2
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες