Σύνολο τιμών

KARKAR · #1

$\bigstar$ Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2-ax+b^2}{x-a} , ( a , b \in \mathbb{R} )$

Henri van Aubel · #2

Η

είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f{'}\left ( x \right )=1-\frac{b^{2}}{\left ( x-a \right )^{2}},\forall x\neq a$ . Είναι:

$\displaystyle f{'}\left ( x \right )> 0\Leftrightarrow \left | x-a \right |> \left | b \right |\Leftrightarrow x> a+\left | b \right |$ ή $x< a-\left | b \right |.$

$\displaystyle f{'}\left ( x \right )< 0\Leftrightarrow \left | x-a \right |< \left | b \right |\Leftrightarrow a-\left | b \right |< x< a+\left | b \right |.$

Θεωρήθηκε ότι $\left | b \right |\neq 0.$ Για $\left | b \right |=0$ , just do the handwork .

Η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,a-\left | b \right | \right ]$ , επομένως $\displaystyle f\left ( \left ( -\infty,a-\left | b \right | \right ] \right )=\left ( \lim_{x\rightarrow -\infty}f\left ( x \right ),f\left ( a-\left | b \right | \right ) \right ]=\left ( -\infty,f\left ( a-\left | b \right | \right ) \right ].$

Η

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\left [ a-\left | b \right |,a \right )$ , επομένως $\displaystyle f\left ( \left [ a-\left | b \right |,a \right )\right )=\left ( \lim_{x\rightarrow a^{-}}f\left ( x \right ) ,f\left ( a-\left | b \right | \right )\right ].$

Η

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left ( a,a+\left | b \right | \right ]$ , επομένως $\displaystyle f\left ( \left ( a,a+\left | b \right | \right ] \right )=\left [ f\left ( a+\left | b \right | \right ), \lim_{{x\rightarrow a^{+}}}f\left ( x \right )\right ).$

Η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left [ a+\left | b \right |,+\infty \right )$ , επομένως $\displaystyle f\left ( \left [ a+\left | b \right |,+\infty \right ) \right )=\left [ f\left ( a+\left | b \right | \right ),\lim_{x\rightarrow +\infty}f\left ( x \right ) \right )=\left [ f\left ( a+\left | b \right | \right ), +\infty\right ).$
Τα υπόλοιπα απλά .Είχα γράψει από βιασύνη ότι το σύνολο τιμών είναι το R, αλλά το σύνολο τιμών είναι αυτό που γράφει ο Θανάσης . (ήταν αργά τη νύχτα, τι περιμένεις ;

)

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 30, 2023 8:10 pm
$\bigstar$ Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2-ax+b^2}{x-a} , ( a , b \in \mathbb{R} )$

Είναι πολλή κοινή άσκηση, ιδίως παλαιότερα υπήρχε σε κάθε σχολικό βιβλίο ή βοήθημα. Ο στάνταρ τρόπος είναι να βρούμε για ποια

έχει λύση η

$\dfrac{x^2-ax+b^2}{x-a} =y$ . Ως δευτεροβάθμια έχει διακρίνουσα (άμεσο) (y-a-2b)(y-a+2b)

. Αυτή είναι $\ge 0$ , έξω από τις ρίζες τις $a \pm 2b$ . Τα υπόλοιπα απλά.

KARKAR · #4

... δηλαδή : $R_{f}=(-\infty , a-2|b|] \cup [a+2|b|,+\infty)$

#5

$\displaystyle{f(x)=\frac{x(x-a)+b^2}{x-a}=x+\frac{b^2}{x-a}}$

Αρα αν $\displaystyle{g(x)=\frac{b^2}{x-a}}$ η $\displaystyle{f}$ είναι το άθροισμα μιας ευθείας $\displaystyle{y=x}$ και μιας υπερβολής
$\displaystyle{ y=(b^2)(1/x-a)}$
τα γεωμετρικά τους χαρακτηριστικά (Β΄Λυκείου)μπορούν να δώσουν το σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση