Απόδειξη ότι δεν υπάρχει ένα πλευρικό όριο

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Να αποδειχθεί ότι το όριο $\lim\limits_{x\to0^+}\eta\mu \frac{1}{x}$ δεν υπάρχει.

Σημείωση #1:
Το ζητούμενο μπορεί αποδειχθεί πολύ εύκολα αν:
1) χρησιμοποιηθεί ο ορισμός του ορίου με $\varepsilon,\delta$
2) χρησιμοποιηθούν ακολουθίες πραγματικών αριθμών και ο ακολουθιακός ορισμός του ορίου
3) είναι κανείς διατεθειμένος να αρκεστεί στην εποπτεία που προσφέρει μια γραφική παράσταση.

Επειδή τα 1),2) δεν αφορούν την ύλη των πανελληνίων εξετάσεων, δεν έχουν θέση στο πλαίσιο της παρούσας ανάρτησης. Σε ό,τι αφορά το 3), ενώ οι γραφικές παραστάσεις είναι χρήσιμες κατά την επίλυση προβλημάτων, στα μαθηματικά αυτό που μας ενδιαφέρει τελικά είναι οι τυπικές αποδείξεις. Μια γραφική παράσταση είναι ισόκυρη με μια τυπική απόδειξη μόνο όταν υπάρχει βεβαιότητα ότι όντως κωδικοποιεί επαρκώς και μπορεί να οδηγήσει με προφανή τρόπο (αν και ενδεχομένως με ανείπωτο μόχθο) στη διατύπωση μιας τυπικής απόδειξης. Όταν κάποιος διαθέτει τα εργαλεία στα 1),2) μπορεί να ισχυριστεί ότι μια γραφική παράσταση της $\eta\mu\frac{1}{x}$ κωδικοποιεί μια απόδειξη. Επειδή όμως έχουμε τους περιορισμούς των πανελληνίων εξετάσεων δεν είναι προφανές πως ακριβώς μια γραφική παράσταση κωδικοποιεί μια εντός ύλης, "νόμιμη", τυπική απόδειξη.

Για να περάσουμε στο δια ταύτα, μια αποδεκτή λύση για την παρούσα θα πρέπει να συμμορφώνεται με το ακόλουθο πρότυπο:
#1. Να χρησιμοποιεί αποκλειστικά θεωρήματα και ιδιότητες που είναι διαθέσιμα σε έναν υποψήφιο των πανελληνίων εξετάσεων.
#2. Να μην επικαλείται/βασίζεται σε εποπτεία/γεωμετρικές ερμηνείες/γραφικές παραστάσεις.

Σημείωση #2: Ενδεικτικά η άσκηση μπορεί να λυθεί με την ύλη που είναι διαθέσιμη μέχρι και την παράγραφο 1.6 του σχολικού βιβλίου "Μη πεπερασμένο όριο στο $x_o\in\mathbb{R}$ ".

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2024 6:23 pm
Να αποδειχθεί ότι το όριο $\lim\limits_{x\to0^+}\eta\mu \frac{1}{x}$ δεν υπάρχει.
...
Για να περάσουμε στο δια ταύτα, μια αποδεκτή λύση για την παρούσα θα πρέπει να συμμορφώνεται με το ακόλουθο πρότυπο:
#1. Να χρησιμοποιεί αποκλειστικά θεωρήματα και ιδιότητες που είναι διαθέσιμα σε έναν υποψήφιο των πανελληνίων εξετάσεων.
#2. Να μην επικαλείται/βασίζεται σε εποπτεία/γεωμετρικές ερμηνείες/γραφικές παραστάσεις.

Κάνει αυτό;

Ισοδύναμα θέλουμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\sin x$ . Έστω ότι υπήρχε και ήταν

. Τότε

$a= \lim\limits_{x\to +\infty}\sin (x+\pi)= -\lim\limits_{x\to +\infty}\sin x =-a$ , άρα a=0

. Επίσης

$a^2 = \lim\limits_{x\to +\infty}\sin ^2 (x+\frac {\pi}{2} )= \lim\limits_{x\to +\infty}\cos ^2 x = \lim\limits_{x\to +\infty}(1-\sin ^2 x) = 1-a^2$

που για a=0

που βρήκαμε, δίνει 0=1

. Άτοπο.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2024 7:26 pm

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2024 6:23 pm
Να αποδειχθεί ότι το όριο $\lim\limits_{x\to0^+}\eta\mu \frac{1}{x}$ δεν υπάρχει.
...
Για να περάσουμε στο δια ταύτα, μια αποδεκτή λύση για την παρούσα θα πρέπει να συμμορφώνεται με το ακόλουθο πρότυπο:
#1. Να χρησιμοποιεί αποκλειστικά θεωρήματα και ιδιότητες που είναι διαθέσιμα σε έναν υποψήφιο των πανελληνίων εξετάσεων.
#2. Να μην επικαλείται/βασίζεται σε εποπτεία/γεωμετρικές ερμηνείες/γραφικές παραστάσεις.

Κάνει αυτό;

Ισοδύναμα θέμουμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\sin x$ . Έστω ότι υπήρχε και ήταν . Τότε

$a= \lim\limits_{x\to +\infty}\sin (x+\pi)= -\lim\limits_{x\to +\infty}\sin x =-a$ , άρα . Επίσης

$a^2 = \lim\limits_{x\to +\infty}\sin ^2 (x+\frac {\pi}{2} )= \lim\limits_{x\to +\infty}\cos ^2 x = \lim\limits_{x\to +\infty}(1-\sin ^2 x) = 1-a^2$

που για που βρήκαμε, δίνει . Άτοπο.

Η (κομψή) απάντησή σας είναι "νομιμότερη" (και καλύτερη) από αυτήν που είχα στη σκέψη μου.

Παραθέτω τώρα τη δική μου λύση η οποία στηρίζεται:
1. στην υποπαράγραφο ΣΥΜΒΑΣΗ της παραγράφου "1.4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ $x_o\in\mathbb{R}$ " του σχολικού εγχειριδίου στην οποία εισάγεται η έννοια "κοντά στο x_o

"
2. στο 1ο θεώρημα της παραγράφου "1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ" και το ανάλογό του για την περίπτωση του απείρου ορίου που αναφέρεται στην παράγραφο "1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ $x_o\in\mathbb{R}$ " και στο θεώρημα της υποπαραγράφου "Όρια και πράξεις" της παραγράφου 1.5.
3. στην παρατήρηση ότι η εξίσωση $\eta\mu\frac{1}{x}=\pm1$ έχει λύσεις σε οποιοδήποτε διάστημα (0,a)

με

. Πράγματι, για κάθε θετικό ακέραιο $\kappa$ με $\kappa>\frac{1}{2\pi a}\mp\frac{1}{4}$ ο $\frac{1}{2\kappa\pi\pm\frac{\pi}{2}}$ είναι μια λύση στο (0,a)

Έστω ότι υπάρχει το $\ell=\lim\limits_{x\to0^+}\eta\mu\frac{1}{x}$ . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
#1. $\ell=+\infty$ ή $\ell\in\mathbb{R}$ και $\ell>0$
Σε αυτήν την περίπτωση f(x)>0

κοντά στο

οπότε θα υπάρχει a>0

ώστε

στο

, αδύνατον αφού η εξίσωση $\eta\mu\frac{1}{x}=-1$ έχει λύσεις στο (0,a)

#2. $\ell = -\infty$ ή $\ell\in\mathbb{R}$ και $\ell<0$
Σε αυτήν την περίπτωση f(x)<0

κοντά στο

οπότε θα υπάρχει a>0

ώστε

στο

, αδύνατον αφού η εξίσωση $\eta\mu\frac{1}{x}=1$ έχει λύσεις στο (0,a)

#3. $\ell=0$
Σε αυτή την περίπτωση $\lim\limits_{x\to0^+}\eta\mu\frac{1}{x}=0\Rightarrow \lim\limits_{x\to0^+}\big(\eta\mu\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\big)=+\frac{1}{2}$ οπότε θα υπάρχει a>0

ώστε $\eta\mu\frac{1}{x}+\frac{1}{2}>0$ στο (0,a)

, αδύνατον αφού η εξίσωση $\eta\mu\frac{1}{x}=-1$ έχει λύσεις στο (0,a)

Απόδειξη ότι δεν υπάρχει ένα πλευρικό όριο

Απόδειξη ότι δεν υπάρχει ένα πλευρικό όριο

Re: Απόδειξη ότι δεν υπάρχει ένα πλευρικό όριο

Re: Απόδειξη ότι δεν υπάρχει ένα πλευρικό όριο

Μέλη σε σύνδεση