Μέγιστο

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Αν f : R $\displaystyle{ \to }$ R για την οποία ισχύει $\displaystyle{ e^{ - f(x)} - f(x) + 1 - x^2 = 0 }$ , να δείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο .

#2

Η συνάρτηση $g(t)=e^{-t}-t$ είναι γνησίως φθίνουσα.

Οπότε αφού

$g(f(x))=x^2-1\geq -1$

θα ισχύει

$f(x)\leq a$ ,

όπου

είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε g(a)=-1

. (Η ύπαρξη του

έπεται, π.χ. από Bolzano στο (0,2)

.)

Αφού g(f(0))=-1=g(a)

, έπεται ότι η

λαμβάνει μέγιστο στο

ίσο με

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Βρήκα μια λύση, είναι λίιιιγο εκτός ύλης μη με βαρέσετε!

$\displaystyle{ g(x) = e^{ - x} - x + 1,x \in R }$

Εύκολα (με την παράγωγο ή συνθετικά), ανακαλύπτουμε πως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Συνεπώς είναι αντιστρέψιμη στο R και η αντίστροφη συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με αυτή.(Το εκτός ύλης που λέγαμε)

Επιπλέον:

$\displaystyle{ e^{ - f(x)} - f(x) + 1 = x^2 ,\forall x \in R \Rightarrow g(f(x)) = x^2 ,\forall x \in R \Rightarrow f(x) = g^{ - 1} (x^2 ),\forall x \in R }$

Όμως:

$\displaystyle{ x^2 \ge 0,\forall x \in R \Rightarrow g^{ - 1} (x^2 ) \le g^{ - 1} (0),\forall x \in R \Rightarrow f(x) \le f(0),\forall x \in R }$
Συνεπώς η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 , το f(0)

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Την ανεβάζω μιας και την είχα ετοιμάσει . Είναι στο σκεπτικό της λύσης του Αχιλλέα
Θεωρούμε την $\displaystyle{ g(x) = e^{ - x} - x + 1 }$
οπότε $\displaystyle{ g(f(x)) = x^2 }$ . Αν $\displaystyle{ h(x) = x^2 }$ τότε gof=h
H h παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 δηλ. $\displaystyle{ h(x) \ge h(0) }$ άρα $\displaystyle{ g(f(x)) \ge g(f(0)) \Leftrightarrow f(x) \le f(0) }$

manos1992 · #5

chris_gatos έγραψε:και η αντίστροφη συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με αυτή.(Το εκτός ύλης που λέγαμε)

Κύριε Χρήστο γιατί είναι εκτός ύλης;;

αφού αν υπάρχουν x_1,x_2

με

τέτοια ώστε $f^{-1}(x_1)\leq f^{-1}(x_2)\Rightarrow f(f^{-1}(x_1))\geq f(f^{-1}(x_2))\Rightarrow x_1\geq x_2$

πράγμα άτοπο άρα η $f^{-1}$ είναι γνησίως φθίνουσα...

EDIT: όπου f εννοώ g για την περίπτωσή μας...

#6

Μάνο εννοούσα εκτός λύσης ως θεωρία. Αν πάρεις το πράσινο βιβλίο των δεσμών(του προκατόχου του σημερινού)
θα δείς την πρόταση σε περίοπτη θέση.

manos1992 · #7

A, με την έννοια ότι δεν μπορεί να χρησιοποιηθεί έτοιμο στη Γ λυκείου..αυτό σωστό αλλά σώζεται, οπότε...

Μέγιστο

Μέγιστο

Re: Μέγιστο

Re: Μέγιστο

Re: Μέγιστο

Re: Μέγιστο

Re: Μέγιστο

Re: Μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση