Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

pito · #1

Διαβάζω τις εξαιρετικές σημειώσεις για τη διδασκαλία του διαφορικού λογισμού του κυρίου Μπουνάκη εδώ στο

και έχω την εξής απορία όσον αφορά τις προυποθέσεις του ΘΜΤ:

Αναφέρει ότι επειδή η

πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο $(a,\beta )$ , θα είναι και συνεχής στο $(a,\beta )$ ( προφανώς), άρα αντί να απαιτήσουμε η

να είναι συνεχής στο $[a,\beta ]$ αρκεί η

να είναι συνεχής στο

και στο $\beta$ .

H απορία μου είναι γιατί αυτό αρκεί, αφού η συνέχεια της

στο $[a,\beta ]$ δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια της

στα άκρα αλλά μόνο ότι $lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a), lim_{x\rightarrow \beta ^{-}}f(x)=f(\beta )$ .

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Λέει ότι στο εσωτερικό του διαστήματος είναι συνεχής, από παραγωγισιμότητα, όμως στα άκρα δεν έχουμε εξετάσει την συνέχεια, άρα αν θέλουμε συνεχής στο [a, b]

πρέπει να μελετήσουμε μόνο στα άκρα (με τους τύπους που αναφέρεις).

Αν κατάλαβα καλά, γιατί ένα απόσπασμα από ένα κείμενο δεν είναι αρκετό για να καταλάβουμε τι θέλει να πει ο γράφων...

pito · #3

Τώρα που το ξαναείδα Μάκη το λέει στο Θ.Rolle και λέει " θα μπορούσε να αντικατασταθεί από τη ΣΥΝΕΧΕΙΑ της

στα άκρα".

Δηλαδή για το Rolle και το ΘΜΤ πρέπει να έχουμε και συνέχεια στα άκρα του $[a,\beta ]$ , ή όχι αναγκαστικά;;;;

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Ναι κατάλαβα τι λέει:

Το Θεώρημα Rolle έχει κανονικά τις εξής προϋποθέσεις:

συνεχής στο [a, b]

παραγωγίσιμη στο (a, b)

Μπορεί να αντικατασταθούν ως εξής:

παραγωγίσιμη στο (a, b)

συνεχής στο

και

(μόνο, δεν χρειάζεται να απαιτήσουμε και τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος συνεχής, αφού τα έχουμε από την παράγωγο, θα ήταν πλεονασμός)
f(a) = f(b)

Κάτι ανάλογο και για το ΘΜΤ (εκτός από την τρίτη συνθήκη). Εγώ αυτό καταλαβαίνω, τι λες;

pito · #5

Μάκη και εγώ το ίδιο κατάλαβα ότι λέει , άρα συμφωνείς ότι εδώ πρέπει η

είναι συνεχής και στο $\beta$ και στο

, παρόλο που ο ορισμός της συνέχειας στο $[a,\beta ]$ δεν εξασφαλίζει κάτι τέτοιο πάντα;;;

#6

Είναι προφανές σφάλμα (ή αβλεψια ) του συμβούλου τα θεωρήματα απαιτούν συνέχεια αριστερά του $\beta$ και δεξιά του (του $[a,\beta ]$ ) και όχι κατα αναγκη συνέχεια στα $a,\beta$ .

Η πιο απλά να ικανοποιείται ο ορισμός συνέχειας στο
$[a,\beta ]$ .
Μάλιστα υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς στα $a,\beta$ και παρόλα αυτά εφαρμόζονται τα θεωρήματα Rolle ,bolzano κ.τ.λ στο $[a,\beta ]$ αν βεβαια ικανοποιουνται και οι υπολοιπες συνθηκες.

nik21 · #7

Πολύ ενδιαφέρουσα και εύστοχη η παραπάνω παρατήρηση.
Πιστεύω ότι θα μπέρδευε πολλούς αν είχε τεθεί ως Σωστό - Λάθος, δηλ:

Αν μια συνάρτηση

είναι συνεχής στο $[a,\beta ]$ τότε είναι συνεχής και στα σημεία $a,\beta$ . (που είναι λάθος)

pito έγραψε:Αναφέρει ότι επειδή η πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο $(a,\beta )$ , θα είναι και συνεχής στο $(a,\beta )$ ( προφανώς), άρα αντί να απαιτήσουμε η να είναι συνεχής στο $[a,\beta ]$ αρκεί η να είναι συνεχής στο και στο $\beta$ .

H απορία μου είναι γιατί αυτό αρκεί, αφού η συνέχεια της στο $[a,\beta ]$ δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια της στα άκρα αλλά μόνο ότι $lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a), lim_{x\rightarrow \beta ^{-}}f(x)=f(\beta )$ .

Για την ακρίβεια, αν απαιτήσουμε τη συνέχεια της

στα άκρα, υπερκαλύπτουμε την αντίστοιχη προυπόθεση του Rolle ή του ΘΜΤ . Δηλαδή το να είναι η

συνεχής και στο

και στο $\beta$ και στο $(a,\beta )$ μας λέει ότι η

είναι συνεχής στο $[a,\beta ]$ και επιπλέον υπάρχουν τα όρια :
$lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)$ , $lim_{x\rightarrow \beta ^{+}}f(x)=f(\beta )$

#8

nik21 έγραψε:Πολύ ενδιαφέρουσα και εύστοχη η παραπάνω παρατήρηση.
Πιστεύω ότι θα μπέρδευε πολλούς αν είχε τεθεί ως Σωστό - Λάθος, δηλ:

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β] τότε είναι συνεχής και στα σημεία α, β. (που είναι λάθος)

pito έγραψε:Αναφέρει ότι επειδή η πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο $(a,\beta )$ , θα είναι και συνεχής στο $(a,\beta )$ ( προφανώς), άρα αντί να απαιτήσουμε η να είναι συνεχής στο $[a,\beta ]$ αρκεί η να είναι συνεχής στο και στο $\beta$ .

H απορία μου είναι γιατί αυτό αρκεί, αφού η συνέχεια της στο $[a,\beta ]$ δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια της στα άκρα αλλά μόνο ότι $lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a), lim_{x\rightarrow \beta ^{-}}f(x)=f(\beta )$ .
Για την ακρίβεια, αν απαιτήσουμε τη συνέχεια της στα άκρα, υπερκαλύπτουμε την αντίστοιχη προυπόθεση του Rolle ή του ΘΜΤ . Δηλαδή το να είναι η συνεχής και στο α και στο β και στο $(a,\beta )$ μας λέει ότι η είναι συνεχής στο [α, β] και επιπλέον υπάρχουν τα όρια :
$lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)$ , $lim_{x\rightarrow \beta ^{+}}f(x)=f(\beta )$

Αν θες να σαφής η ερώτηση Σ Λ πρόσθεσε.
Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο .

Αν μια συνάρτηση

είναι συνεχής στο $[a,\beta ]$ τότε είναι συνεχής και στα σημεία $a,\beta$ .
(που είναι λάθος)

Μάκης Χατζόπουλος · #9

Ένα σχήμα για καλύτερη κατανόηση (το πρώτο μου σχήμα γρ. παράστασης σε Geogebra!!!)

#10

pito έγραψε:Διαβάζω τις εξαιρετικές σημειώσεις για τη διδασκαλία του διαφορικού λογισμού του κυρίου Μπουνάκη εδώ στο και έχω την εξής απορία όσον αφορά τις προυποθέσεις του ΘΜΤ:

Αναφέρει ότι επειδή η πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο $(a,\beta )$ , θα είναι και συνεχής στο $(a,\beta )$ ( προφανώς), άρα αντί να απαιτήσουμε η να είναι συνεχής στο $[a,\beta ]$ αρκεί η να είναι συνεχής στο και στο $\beta$ .

H απορία μου είναι γιατί αυτό αρκεί, αφού η συνέχεια της στο $[a,\beta ]$ δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια της στα άκρα αλλά μόνο ότι $lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a), lim_{x\rightarrow \beta ^{-}}f(x)=f(\beta )$ .

Μυρτώ, καλημέρα.

Είναι φυσικό να προκύπτουν τέτοιες απορίες, αφού λείπει η απόδειξη του Θεωρήματος Rolle, η οποία στηρίζεται στην απόδειξη του θεωρήματος

μεγίστης και ελαχίστης τιμής των συνεχών συναρτήσεων. Έτσι μαθαίνουμε στα παιδιά, δυστυχώς, όπως επισήμανε και ο Μιχάλης Λάμπρου, ουρανοκατέβατες

προτάσεις, χωρίς αποδείξεις. Αν αυτό σημαίνει "διδάσκω μαθηματικά", τότε εύκολα καταλαβαίνει κάποιος γιατί έχουμε αποδεχθεί τον παραλογισμό ως κανόνα

λειτουργίας της κοινωνίας μας.

#11

καλημέρα σε όλους
ας μπω κι εγώ στη συζήτηση γράφοντας για το Θ. Rolle

(έτσι για να υπάρχει) που μας λέει ο Σπύρος

s.kap έγραψε:Είναι φυσικό να προκύπτουν τέτοιες απορίες, αφού λείπει η απόδειξη του Θεωρήματος Rolle , η οποία στηρίζεται στην απόδειξη του θεωρήματος μεγίστης και ελαχίστης τιμής των συνεχών συναρτήσεων.

αφού η συνάρτηση

είναι συνεχής στο [a,b]

θα έχει μέγιστη κ ελάχιστη τιμή.
Αν πχ τη μέγιστη τιμή την παίρνει σε κάποιο $x_o\in (a,b)$ τότε $f{'}(x_o)=0$
όμοια αν παίρνει την ελάχιστη τιμή σε κάποιο εσωτερικό x_o

τώρα αν και τη μέγιστη αλλά και την ελάχιστη τιμή τις παίρνει στα άκρα a,b

,τότε αφού f(a)=f(b)

η μέγιστη τιμή είναι ίση με την ελάχιστη
άρα η συνάρτηση θα είναι σταθερή και
μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε $x\in(a,b)$

#12

s.kap έγραψε:Αν αυτό σημαίνει "διδάσκω μαθηματικά", τότε εύκολα καταλαβαίνει κάποιος γιατί έχουμε αποδεχθεί τον παραλογισμό ως κανόνα
λειτουργίας της κοινωνίας μας.

#13

Νομίζω υπάρχουν μερικές παρανοήσεις.

Η συνάρτηση

που ζωγράφισε ο Μάκης τρεις δημοσιεύσεις πιο πάνω δεν είναι συνεχής στο [0,1]

. (Ας θεωρήσουμε για την συζήτηση πως το σημείο Β έχει τετμημένη 1.) Και δεν μπορεί να είναι αφού δεν είναι συνεχής ούτε στο 0 ούτε στο 1. Η συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [0,1]

είναι ο περιορισμός της

στο διάστημα [0,1]

. Αυτές όμως είναι διαφορετικές συναρτήσεις αφού έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού. Συμφωνούν στο διάστημα [0,1]

αλλά η μια είναι συνεχής σε αυτό ενώ η άλλη όχι.

Τουλάχιστον αυτά έπρεπε να ισχύουν. Ελπίζω από το σχολικό βιβλίο να μην προκύπτουν διαφορετικά συμπεράσματα.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #14

Ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης σε κλειστό διάστημα ( όπως υπάρχει στον Spivac , στον Κυβεντίδη (ΑΠΘ)...αλλά και στο σχολικό), απαιτεί η συνάρτηση να είναι συνεχής στα εσωτερικά σημεία του διαστήματος και από δεξιά και αριστερά συνεχής στα άκρα. Πουθενά δεν γίνεται λόγος για περιορισμούς κτλ.

Ιστοσελίδα · #15

Αν δεν κάνω λάθος το συγκεκριμένο σημείο το έχουμε επισημάνει ξανά στο

(αλλά δε θυμάμαι που).
Η συνάρτηση που εμφανίζεται στο σχήμα 63β -παρόμοια με του Μάκη παραπάνω - του βιβλίου έχει την "μαγκιά" να είναι συνεχής στο κλειστό $[\alpha,\beta ]$ χωρίς να είναι συνεχής στα $\alpha$ και $\beta$ !!! Ο λόγος είναι ότι ουσιαστικά στο σχολικό βιβλίο, αλλά και σε άλλα βιβλία ορίζεται μία πλευρική συνέχεια - χωρίς να αναφέρεται πάντα έτσι - η οποία ουσιαστικά είναι συνέχεια της περιορισμένης συνάρτησης όπως ακριβώς αναφέρεις Demetres. Ουσιαστικά η συνάρτηση αυτή όπως και του Μάκη είναι δεξιά συνεχής στο $\alpha$ και αριστερά συνεχής στο $\beta$ και για αυτό αναφέρεται ως συνεχής στο διάστημα $[\alpha,\beta]$ . Κατά τη γνώμη μου είναι παράλειψη των συγγραφέων, η εν πάσει περιπτώσει απλούστευση της ορολογίας για διευκόλυνση των μαθητών. Αν η συνάρτηση ήταν συνεχής στο $\alpha$ τότε θα έπρεπε να ισχύει ο ε-δ ορισμός : $\forall \epsilon > 0\ \exists\ \delta > 0$ έτσι ώστε : $x \in A, |x- \alpha|< \delta \Rightarrow |f(x) - f(\alpha)|<\epsilon$ , ο οποίος βεβαίως και ΔΕΝ ισχύει, εφόσον η συνάρτηση ορίζεται και σε περιοχή "αριστερά" του $\alpha$ . Αυτό που ισχύει είναι ότι έχει την ιδιότητα της δεξιά συνεχούς στο $\alpha$ και αντίστοιχα αριστερά συνεχούς στο $\beta$ , που την καθιστά συνεχή στο διάστημα $[\alpha,\beta]$ , κατά την έννοια που αναφέρθηκε παραπάνω.

Βιβλιογραφία :
Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, ΓΙαννακούλιας, Απειροστικός λογισμός, σελ146 και 276.
Μ.Παπαδημητράκης, Απειροστικός λογισμός (μίας μεταβλητής), σελ.178
Σ.Κ. Πηχωρίδης, Απειροστικός λογισμός Ι, Σύγχρονη Εποχή 1996, σελ. 41 κ.ε.

Μάκης Χατζόπουλος · #16

Demetres έγραψε:Νομίζω υπάρχουν μερικές παρανοήσεις.

Η συνάρτηση που ζωγράφισε ο Μάκης τρεις δημοσιεύσεις πιο πάνω δεν είναι συνεχής στο . (Ας θεωρήσουμε για την συζήτηση πως το σημείο Β έχει τετμημένη 1.) Και δεν μπορεί να είναι αφού δεν είναι συνεχής ούτε στο 0 ούτε στο 1. Η συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο είναι ο περιορισμός της στο διάστημα . Αυτές όμως είναι διαφορετικές συναρτήσεις αφού έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού. Συμφωνούν στο διάστημα αλλά η μια είναι συνεχής σε αυτό ενώ η άλλη όχι.

Τουλάχιστον αυτά έπρεπε να ισχύουν. Ελπίζω από το σχολικό βιβλίο να μην προκύπτουν διαφορετικά συμπεράσματα.

Δημήτρη θα συμφωνήσω με τον Σωτήρη. Χωρίς να το κάνω επίτηδες, σχεδίασα το σχήμα 63β, σελ. 191 του σχ. βιβλίου. Προφανώς αυτό που λες είναι απλό και κατανοητό, αλλά το βιβλίο ορίζει την συνέχεια και από την μία πλευρά, όπως πολύ όμορφα έγραψε ο Σωτήρης.

Ας το δούμε με παράδειγμα, πες ότι σχεδίασα την γραφική παράσταση της συνάρτηση (στο διάστημα [0, 1]

που ήθελες)

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {x^2} + 5,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0} \\ {2\eta \mu \left( {\pi x} \right) + 3,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le 1} \\ {\ln x + 4,\,\,\,\,\,\,\,\,x > 1} \\ \end{array}} \right.$

Προφανώς η

στα σημεία

και

δεν είναι συνεχής, αλλά στο διάστημα [0, 1] είναι (!), αφού ισχύουν τα εξής (όπως λέει και το σχολικό βιβλίο):

$\bullet \,\,\,f$ συνεχής σε κάθε σημείο του $\left( {0,1} \right)$

$\begin{array}{l} \bullet \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 3 \\ \\ \bullet \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 3 \\ \end{array}$

Σημείωση: Pito έβγαλες πάντως λαβράκι!! Μπράβο σου, μου φώτισες ένα θέμα που δεν το είχα σκεφτεί και στην αρχή δεν αντιλήφθηκα τι έλεγες (καταλάβαινα μόνο τι έγραφε ο κος Μπουνάκης!!) οι ερωτήσεις και αμφισβήτηση φέρνουν πολλές φορές την γνώση και πρόοδο!

#17

1) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ τότε δεν χρειάζεται ο έλεγχος της συνέχειας σε όλο το $\left[ \alpha ,\beta \right]$ . Που χρειάζεται έλεγχος; Στα $\alpha ,\beta$ . Και τίνος πράγματος χρειάζεται έλεγχος; Πως θα το διατυπώνατε; Λέγοντας "έλεγχος της συνέχειας" διαπράττεται κάποιο λάθος ; Υπάρχει περίπτωση να σκεφθεί κάποιος ότι θα γίνει ο έλεγχος ως σημείων του πεδίου ορισμού; Μα ασφαλώς όχι αφού δουλεύουμε στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ . Τι θέλω να πω με αυτό: 'Οτι η χρήση της έκφρασης "η υπόθεση της συνέχειας της συνάρτησης στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ θα μπορούσε να αντικατασταθεί με την συνέχεια μόνο στα $\alpha ,\beta$ " (αυτή είναι η διατύπωση που χρησιμοποιεί ο κ. Μπουνάκης) είναι μία φράση που δεν επιδέχεται με την δεύτερη ανάγνωση παρανόηση, η λέξη "συνέχεια" προφανώς (αν είναι κάτι προφανές είναι αυτό) χρησιμοποιείται εν τη ρύμη του λόγου, το κείμενο είναι ένα κείμενο που απευθύνεται σε επαγγελματίες (αναφέρεται σε κάποιο σημείο των σημειώσεων), και δεν είναι ορατό στο σημείο αυτό κάποιο λάθος (εκτός αν κάποιος επιμένει να το βλέπει).
2) Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν από την στιγμή που οι συγγραφείς των σχολικών βιβλίων εξοβέλισαν την έννοια του περιορισμού και της επέκτασης μίας συνάρτησης. Πρόκειται για δύο εύληπτες έννοιες που μας λύνουν τα χέρια. 'Οσοι ενεπλάκησαν με την βαθμολόγηση γραπτών το 2008 θα καταλάβουν τι εννοώ. Υπήρχαν παιδιά που έγραφαν "μία συνάρτηση θα είναι συνεχής σε ένα διάστημα αν θεωρούμενη ως συνάρτηση με πεδίο ορισμού αυτό το διάστημα είναι συνεχής συνάρτηση" και υπήρχαν βαθμολογητές που επειδή δεν έβλεπαν την διατύπωση του βιβλίου ήθελαν να μηδενίσουν την απάντηση.
3) Είναι κρίμα η απόδειξη του θεωρήματος του Rolle (παρατίθεται και στις σημειώσεις του κ. Μπουνάκη) να μην διδάσκεται. Πολλοί συνάδελφοι επιλέγουμε να την διδάσκουμε προσπαθώντας να μειώσουμε την σύγχιση στην οποία αναφέρθηκε ο Σπύρος.
Μαυρογιάννης

pito · #18

Μια πραγματική μικρή μου απορία δεν περίμενα να δημιουργήσει έναν τόσο γόνιμο διάλογο. Σας ευχαριστώ όλους για τη συμμετοχή σε αυτόν.
Κάθε άποψη είναι σεβαστή, όπως και του κυρίου Μαυρογιάννη που είχα την τιμή να γνωρίσω στο συνέδριο και ο οποίος με καλωσόρισε θερμά στο

.
Κύριε Νίκε δεν επιμένω να βλέπω λάθος, απλά δεν ήμουν σίγουρη αν στο ΘΜΤ και το Rolle η συνέχεια στο $[a,\beta ]$ χρησιμοποιείται διαφορετικά από τον ορισμό του βιβλίου.Ακόμη θεωρώ τον εαυτό μου ερασιτέχνη που προσπαθεί να βελτιωσει τις γνώσεις του και έχει ευθύνη όταν διδάσκει , για το λόγο αυτό εξέφρασα την απορία μου.

( Πριν κάποια χρόνια ένας συνάδελφος μου είπε ότι θα κάψουμε πολλούς μαθητές μέχρι να μάθουμε εμείς σωστά μαθηματικά. Όλες οι απορίες μου και η συμμετοχή μου στο

, πηγάζουν από την αγωνία μου οι μαθητές μου να μην αποκτήσουν εγκαύματα πρώτου βαθμού!)

#19

Καταρχήν Μυρτώ μπράβο.
Και ότι απορία έχεις ρώτα, γιατί μπορεί να την έχουμε και εμείς !!!
Και να ξέρεις ότι στο mathematica υπάρχουν φίλοι που καταλαβαίνουν και δεν ξεχνούν ότι κάποτε και αυτοί είχαν τις ίδιες και περισσότερες απορίες από εσένα (και ίσως να έχουμε ακόμα ) .
Πάντως για το συγκεκριμένο είναι καλυτέρα να είμαστε απλοί και σαφείς για αυτό καλυτέρα να λέμε
Tα θεωρήματα Βolzαno, ΘΕΤ, Rolle ,Θ.Μ.Τ για την συνθήκη της συνέχειας στο $[a,\beta]$ εκτός από την συνέχεια στο $(a,\beta)$ απαιτούν και την συνέχεια αριστερά του $\beta$ και δεξιά του και όχι κατά ανάγκη συνέχεια στα $a,\beta$ .
Και να αποφεύγονται εσφαλμένες διατυπώσεις του τύπου.
<<<<11.α. Λόγω της παραγωγισιμότητας της συνάρτησης στο εσωτερικό τουστο $(a,\beta)$ η
υπόθεση της συνέχειας της συνάρτησης στο $[a,\beta]$ θα μπορούσε να αντικατασταθεί με
την συνέχεια μόνο στα $a,\beta$ . Παραδοσιακά όμως το θεώρημα διατυπώνεται με τον τρόπο
αυτό.>>>>

Μερικές φορές βλέπω ανθρώπους που ερμηνεύουν κατά το δοκούν, άλλες φόρες αυστηρά κατά γράμμα και άλλες φορές χαλαρά, αλλά έτσι είναι τι να γίνει .

#20

Διατύπωση του ΘΜΤ χωρίς καμία αναφορά στην συνέχεια:

Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο (a, b)

και ισχύουν επίσης οι $\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a)$ και $\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$ τότε υπάρχει $\xi$ στο (a, b)

τέτοιο ώστε $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$

Γιώργος Μπαλόγλου

Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Re: Μια μικρή απορία στο ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση