Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Θωμάς Ποδηματάς · #1

Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα του

αν και δεν ξέρω πόσοι είναι ξενύχτηδες αυτή τη στιγμή.

Έπεσε στα χέρια μου μιά άσκηση, που είναι εντελώς όμοια με ένα "διπλό" θα έλεγε κανείς ΘΜΤ. Την καταθέτω :

Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα $\left[a,b\right]$ , παραγωγίσιμη στο διάστημα $\left(a,b\right)$ με $f(a)\neq f(b)$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2 \in (a,b)$ με $\xi_1 \neq \xi_2$ τέτοια ώστε να ισχύει ότι : $\displaystyle{ f{'}\left( \xi_1\right) f{'}\left( \xi_2\right) =\left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right)^2 }$

Θα ήθελα - αν γίνεται - να έχω και μερικά σχόλια για την ποιότητά της, του είδους "απλή", "μέτρια", "δύσκολη", "εξωφρενική", κλπ. Προσωπικά πιστεύω ότι ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟΝ να εμφανιστεί τέτοιο θέμα στις εξετάσεις, εκτός και αν εγώ έκανα "παλαβή" λύση... Είναι και νύχτα...

Καλό βράδυ σε όλους και αύριο με υγεία...
Θωμάς

Edit

Μπήκα να δω σχόλια και είδα ..."κουτάκια" μπλέ...

Δεν ξέρω τι έγινε... Την ξανανεβάζω λοιπόν...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Μια απόπειρα που ελπίζω να είναι σωστή.

Αν υπάρχει a<x<b

τέτοιο ώστε $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}:=\lambda$ , τότε εύκολα βρίσκουμε ότι

και $\frac{f(b)-f(x)}{b-x}=\lambda$ και το συμπέρασμα έπεται από το ΘΜΤ στα διαστήματα [a,x]

και

.

Αλλοιώς, υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $\lambda >0$ και ότι

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$ .

Για κάθε a<x<b

.

Το πεδίο τιμών της συνεχούς συνάντησης

$g(x):=\frac{f(x)-f(a)}{x-a)}$ στο (a,b]

περίεχει ένα διάστημα της μορφής $[\lambda,c)$ ( η συνάρτηση έχει ελάχιστο ίσο με $\lambda$ )

Ομοίως, Το πεδίο τιμών της συνεχούς συνάντησης

$h(x):=\frac{f(x)-f(b)}{x-b}$ στο [a,b)

περίεχει ένα διάστημα της μορφής $(d,\lambda]$ ( η συνάρτηση έχει μέγιστο ίσο με $\lambda$ )

Υπάρχει λοιπόν k>1

τέτοιο ώστε

$g(\xi)=k\lambda$ και $h(\xi')=\lambda/k$ για κάποια $\xi, \xi'$ στο (a,b)

.

Από το ΘΜΤ στο δίαστημα $[a,\xi]$ υπάρχει $\xi_1$ στο ανοικτό $(a,\xi)$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi_1)=g(\xi)$ .

Ομοίως Από το ΘΜΤ στο δίαστημα $[\xi', b]$ υπάρχει $\xi_2$ στο ανοικτό $(\xi', b)$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi_2)=h(\xi')$ .

Πολλαπλασίαζοντας κατά μέλη της δυο τελευτεαίες και χρησιμοποιώντας τα παραπ´ανω παίρνουμε το ζητούμενο αφού το

απαλοίφεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θωμάς Ποδηματάς · #3

achilleas έγραψε:Μια απόπειρα που ελπίζω να είναι σωστή.

Αν υπάρχει τέτοιο ώστε $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}:=\lambda$ , τότε εύκολα βρίσκουμε ότι

και $\frac{f(b)-f(x)}{b-x}=\lambda$ και το συμπέρασμα έπεται από το ΘΜΤ στα διαστήματα και .

Αλλοιώς, υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $\lambda >0$ και ότι

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$ .

Ευχαριστώ achilleas για την ενασχόλησή σου. Σε παρακαλώ αν θες δύο πραγματάκια :
1) Γράψε πως προκύπτει η τελευταία ανισότητα...
2) Σε παρακαλώ θερμά πες μου επειδή η άσκηση δόθηκε για να βοηθήσει την προσπάθεια ενός εξαιρετικού μαθητή μου (πραγματικά όμως!)
ότι είναι ... αυτό που νομίζω φανερό ότι είναι... Είναι για πανελλήνιες;;;

Θα ήθελα τέλος να δω και άλλες λύσεις αν είναι δυνατόν...

Τη δική μου λύση θα την αναρτήσω το βράδυ...

Καλημέρα στην εκλεκτή παρέα του

Θωμάς

#4

Για την ανισότητα:
Προκύπτει με κάποιες απλές πράξεις ότι αν

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>\lambda$

για κάθε a<x<b

, τότε

$\lambda>\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$ ,

αφού

$f(b)-\lambda b=f(a)-\lambda a$ .

Με ένα σχήμα μπορούμε να το "δούμε" αυτό αφού οι λόγοι είναι κλίσεις εφαπτομέων που άγονται από το

και από το

.

Αν σπάσει σε υποερωτήματα θα μπορούσε να δοθεί σε εξετάσεις, αλλά όπως δόθηκε είναι απαιτητική

Φιλικά,

Αχιλλέας

Atemlos · #5

H άσκηση υπάρχει και σε ένα από τα βιβλία του Θ.Καζαντζή συνάπτω απλά την λύση :

#6

Η παραπάνω δημοσιευθείσα λύση ουσιαστικά αποδεικνύει την εξής γενίκευση:

"Έστω συνάρτηση

συνεχής στο διάστημα $\left[a,b\right]$ , παραγωγίσιμη στο διάστημα $\left(a,b\right)$ με $f(a)\neq f(b)$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν διακεκριμμένα $\xi_1,\xi_2, \dots, \xi_n \in (a,b)$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ ) τέτοια ώστε

$\displaystyle{ f{'}\left( \xi_1\right) f{'}\left( \xi_2\right)\cdots f{'}\left( \xi_n\right) =\left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^n }$ "

Παρατήρηση: Για n=1

είναι το ΘΜΤ και για n=2

είναι η παραπάνω άσκηση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα του αν και δεν ξέρω πόσοι είναι ξενύχτηδες αυτή τη στιγμή.

Έπεσε στα χέρια μου μιά άσκηση, που είναι εντελώς όμοια με ένα "διπλό" θα έλεγε κανείς ΘΜΤ. Την καταθέτω :

Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα $\left[a,b\right]$ , παραγωγίσιμη στο διάστημα $\left(a,b\right)$ με $f(a)\neq f(b)$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2 \in (a,b)$ με $\xi_1 \neq \xi_2$ τέτοια ώστε να ισχύει ότι : $\displaystyle{ f{'}\left( \xi_1\right) f{'}\left( \xi_2\right) =\left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right)^2 }$

Θα ήθελα - αν γίνεται - να έχω και μερικά σχόλια για την ποιότητά της, του είδους "απλή", "μέτρια", "δύσκολη", "εξωφρενική", κλπ. Προσωπικά πιστεύω ότι ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟΝ να εμφανιστεί τέτοιο θέμα στις εξετάσεις, εκτός και αν εγώ έκανα "παλαβή" λύση... Είναι και νύχτα...

Καλό βράδυ σε όλους και αύριο με υγεία...
Θωμάς

Edit

Μπήκα να δω σχόλια και είδα ..."κουτάκια" μπλέ... Δεν ξέρω τι έγινε... Την ξανανεβάζω λοιπόν...
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Την άσκηση την έδωσε κάποιος συγγενής ενός μαθητή μου, στον μαθητή μου για να τον βοηθήσει στις εξετάσεις...

Θωμά, θα συμφωνήσω μαζί σου ΑΠΟΛΥΤΑ ότι το θέμα αυτό δεν είναι δυνατόν να το ζητήσει κάποιος να λυθεί από υπόψήφιους στις πανελλαδικές. Θα το θεωρούσα ίσως κατάλληλο για τον ΑΣΕΠ όπου εξετάζονται μαθηματικοί .

Καλό βράδυ

Ιωάννου Δημήτρης

Ιστιαία

#8

Πιστεύω πως η άσκηση μπορεί να γίνει πιο σχολική αν θεωρήσουμε ότι $\displaystyle{f'}$ συνεχής διότι

έστω $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi )>0}$

τότε υπάρχει συμμετρική περιοχή $\displaystyle{U}$ του άξονα $\displaystyle{y :f'(x)>0 ,\forall f'(x)\in U}$

τότε δοθέντος του $\displaystyle{lnf'(\xi )}$ μπορώ να βρω $\displaystyle{\xi_1,\xi_2\in U :lnf'(\xi )=\frac{lnf'(\xi_1)+lnf'(\xi_2)}{2},f'(\xi_1)>0,f'(\xi_2)>0}$ πχ τα άκρα μιας μη συμμετρικής περιοχής $\displaystyle{(\xi_1,\xi_2)=V}$

απολογαριθμίζοντας προκύπτει το ζητούμενο αφού, $\displaystyle{\xi_1 <\xi <\xi_2}$

Θωμάς Ποδηματάς · #9

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα του

Θα δώσω, τη δική μου λύση, αλλά επειδή θεωρώ ότι αν κάποιος τη διαβάσει θα πει ότι ίσως ... , θα δώσω και όλο το σκεπτικό το οποίο με οδήγησε στη θεώρηση μιάς πραγματικά ΑΚΡΑΙΑΣ νομίζω συνάρτησης...

Η αλήθεια είναι πως προσπάθησα πολύ για τη λύση της...Και δεν ήταν μόνη της. Είχα και άλλες δύο,

πρακτικές που θα τις γράψω αργότερα. Σκεφτόμουνα ότι πρέπει να χρησιμοποιήσω το ΘΜΤ δύο φορές σε

διαστήματα διαδοχικά που να "συμπληρώνουν" το δοθέν [a,b]

. Έτσι ξεκίνησα με τα διαστήματα

[a,k],[k,b]

, όπου εφάρμοσα το ΘΜΤ (σε κάθε ένα από αυτά), πολλαπλασίασα τα αποτελέσματα

και ΑΠΑΙΤΗΣΑ να δίνουν το ζητούμενο. Κατόπιν προσπαθούσα να βρώ τον

... τον κατάλληλο

που θα μου έλυνε το πρόβλημά μου... Ιδού η προσπάθεια ...

Χάριν συντομίας, παραλείπω τις προϋποθέσεις και γράφω μόνο τη μαθηματική ουσία :

$\exists \xi_1 \in (a,k),\xi_2 \in (k,b)$ , τέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις :

$\displaystyle{f'(\xi_1)=\frac{f(k)-f(a)}{k-a} (1) ,f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(k)}{b-k} (2) }$

Ζητώ $\displaystyle{f'(\xi_1)\cdot f'(\xi_2)=\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2 }$

οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (1) και (2), απαιτώ να ισχύει ότι :

$\displaystyle{ \frac{f(k)-f(a)}{k-a} \cdot \frac{f(b)-f(k)}{b-k}=\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2 (3) }$

Ονομάζω - για τεχνικούς λόγους $\displaystyle{\lambda =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ , οπότε εξ'

αιτίας της σχέσης (3) αρκεί να βρω έναν

, τέτοιον ώστε να έχω :

$\displaystyle{ \frac{f(k)-f(a)}{k-a} \cdot \frac{f(b)-f(k)}{b-k}=\lambda ^2 }$ ή $\boxed{ \displaystyle{ \left(f(k)-f(a)\right) \cdot \left(f(b)-f(k)\right)=\lambda \cdot \lambda \cdot (k-a) \cdot (b-k) } }$ ( $\ast$ )

Η σκέψη τώρα είναι να βρω ένα

μέσα στο διάστημα (a,b)

, τέτοιον ώστε να ικανοποιούνται ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ οι σχέσεις :

$f(k)-f(a)=\lambda \cdot (b-k)$ (4) KAI $f(b)-f(k)=\lambda \cdot (k-a)$ (5).

Υπέθεσα ότι βρήκα έναν

που ικανοποιεί την (4). Αυτός όμως ικανοποιούσε την (5); Ήταν το ερώτημα... Με λίγες πράξεις και ισχυρή την (4) :

$f(b)-f(k)=f(b)-\left[ f(a)+\lambda \cdot (b-k)\right]=$ $f(b)-f(a)-\lambda \cdot (b-k)=\lambda \cdot [b-a-b+k]$ $=\lambda \cdot (k-a)$

δηλαδή η σχέση (5)

Τώρα πιά το μόνο που έμενε ήταν να δείξω την ύπαρξη του αριθμού

. Βλέποντας την σχέση (4),

ΘΕΩΡΩ ΤΗ (συνεχή προφανώς) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

$\boxed{\mathbf{h(x)=f(x)-f(a)-\lambda \cdot (b-x),x \in [a,b]}}$

και εφαρμόζω σ' αυτήν το θεώρημα του Bolzano :

$h(a)=-\lambda \cdot (b-a)=f(a)-f(b)$
$h(b)=f(b)-f(a)-\lambda \cdot 0= f(b)-f(a)$ Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες έχουμε :

$h(a) \cdot h(b) =-\left(f(a)-f(b) \right)^2<0$ , αφού δίνεται ότι $f(a) \neq f(b)$ . Έτσι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για τη συνάρτηση

στο

και κατά συνέπεια $\exists k \in (a,b) : h(k)=0$ δηλαδή η (4) πλέον ΕΙΝΑΙ ΙΣΧΥΡΗ ΟΠΩΣ ΑΛΛΩΣΤΕ ΚΑΙ Η (5)
.

Τώρα, εφαρμόζοντας δύο φορές το Θεώρημα Μέσης Τιμής σε κάθε ένα των διαστημάτων [a,k],[k,b]

, και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τα αποτελέσματα, έχουμε άμεσα το ζητούμενο.

Προσωπικά θεωρώ ότι η άσκηση αυτή δεν απευθύνεται σε υποψήφιους, όμως αν δοθεί ως πρώτο ερώτημα το θεώρημα του Bolzano ΜΕ ΔΕΔΟΜΕΝΗ τη συνάρτηση

, νομίζω ότι είναι μιά χαρά θέμα... Αλλά ΜΕ ΔΕΔΟΜΕΝΗ τη συνάρτηση

. Ή όπως την προσέγγισε ο Ροδόλφος (Ωραία ιδέα Ροδόλφε

)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ευχαριστώ θερμά τον όποιον ασχολήθηκε με το πρόβλημα αυτό, ιδιαίτερα τον achilleas για τη λύση και τη γενίκευση και το σχόλιό του στο ΠΜ ...
Τέλος ευχαριστώ θερμότατα όποιον είχε την υπομονή να διαβάσει ένα σκεπτικό που μου στέρησε κάνα δυό ωρίτσες ύπνο την προηγούμενη Τρίτη το βράδυ... αλλά και που τελικά απόλαυσα το αποτέλεσμα της προσπάθειας, την οποία και κατέθεσα στο forum.

Καλή σας νύχτα
Θωμάς

Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Re: Υπαρξιακή σαν το ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση