Μονοτονία-κυρτότητα

#1

Μια απλή και κατάλληλη για συζήτηση στην τάξη άσκηση που συνέθεσα εν μέρει ... νοερά μια μέρα γυρίζοντας μόνος από Λαμία(για αυτό γίνονται ατυχήματα !)

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω συνάρτηση

με την ιδιότητα f(x)f'(x)f''(x)>0

για κάθε $x\in R$ και f'(0)=1

.Να αποδείξετε ότι :

Α) Η

είναι γνησίως αύξουσα .

Β) Η

είναι κυρτή ή κοίλη.

Γ) Αν f(0)=1

, τότε $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

Δ) Αν ${{(f''(x))}^{2}}f(x)={{(f'(x))}^{3}}$ για κάθε $x\in R$ και f(0)=1

, τότε $f(x)={{e}^{x}}$

Μπάμπης

#2

Α) Ας κάνω την αρχή. Η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής και από τη δοθείσα συνθήκη δε μηδενίζεται πουθενά στους πραγματικούς. Επομένως διατηρεί πρόσημο.
Όμως f'(0)=1>0

επομένως $f'(x)>0,\forall x\in\mathbb{R}.$ Επομένως η συνάρτηση

, φανερά συνεχής στους πραγματικούς ως παραγωγίσιμη, είναι και γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

#3

B) Επειδή η δεύτερη παράγωγος δε μηδενίζεται πουθενά στους πραγματικούς, λόγω της ιδιότητας των ενδιαμέσων τιμών που κατέχει διατηρεί σταθερό πρόσημο.
Επομένως είναι κυρτή αν $f''(x)>0,\forall x\in\mathbb{R}$ ή κοίλη αν $f''(x)<0,\forall x\in\mathbb{R}$ (εκτός ύλης).
Σχολικά τώρα είναι προφανές πως οι f,f''

είναι παντού ομόσημες. Κι επειδή η

είναι συνεχής θα διατηρεί πρόσημο.Επομένως το ίδιο κάνει και η f''.

Επομένως αν η

είναι θετική το ίδιο θα είναι και η f''

δηλαδή η συνάρτηση θα είναι κυρτή ενώ στην άλλη περίπτωση κοίλη.

freyia · #4

Για το Β: Άμα υποθέσω ότι υπάρχουνε $\displaystyle{x_1 , x_2 \in R}$ με $\displaystyle{x_1 <x_2}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{f{''}(x_1 ).f{''}(x_2 )<0}$ ,

τότε επειδή $\displaystyle{f(x)f{''}(x)>0}$ , (διότι έχει αποδειχθεί στο (Α) ότι $\displaystyle{f{'}>0}$ ), άρα $\displaystyle{f(x_1 )f(x_2 )<0}$ , (διότι επειδή είναι:

$\displaystyle{f(x_1 )f{''}(x_1 )>0 , f(x_2 )f{''}(x_2 )>0 \Rightarrow f(x_1 )f(x_2)f{''}(x_1 )f{''}(x_2 )>0\Rightarrow f(x_1 )f(x_2 )<0}$ )

οπότε από Bolzano $\displaystyle{\Rightarrow }$ υπάρχει $\displaystyle{a\in (x_1 , x_2 )}$ ώστε $\displaystyle{f(a)=0}$ . Όμως αυτό δεν γίνεται από την υπόθεση

Επομένως η $\displaystyle{f{''}}$ διατηρεί σταθερό πρόσημο και επομένως η $\displaystyle{f.}$ ή θα είναι κυρτή ή κοίλη

Με πρόλαβε ο κ. Χρήστος...

#5

Γ) Αν

θα είναι και $f(x)>0,\forall x\in\mathbb{R}$ , αφού διατηρεί πρόσημο. Επομένως λόγω του Β) θα είναι και $f''(x)>0,\forall x\in\mathbb{R}$ . Μιλάμε λοιπόν για κυρτή συνάρτηση.
Η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο (0,f(0))

είναι η

(απλό από τα δεδομένα).
Λόγω κυρτότητος ισχύει πως:
$f(x)\ge x+1,\forall x\in\mathbb{R}.$ Αφού $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x + 1 = + \infty }$ θα είναι και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$ (Κι αυτό είναι λίγο εκτός ύλης μα αυτήν την ώρα δε βρίσκω και κάτι πιο καλό.)

ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ: Διόρθωση ενός λάθους μου στον κώδικα.

#6

...Καλησπέρα στην παρέα και ας μου επιτραπεί να γίνω περισσότερο σχολικός από τις προηγούμενες απαντήσεις
του Χρήστου στα Β),Γ) σε ίδιες σκέψεις, στο θέμα του Μπάμμπη....

Β) Από f(x){f}'(x){f}''(x)>0

αφού

από το (Α) θα είναι f(x){f}''(x)>0

(1) επομένως επειδή $f(x)\ne 0,\,\,\,x\in R$

λόγω της συνθήκης (1) και αφού είναι συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

άρα θα είναι $f(x)>0,\,\,\,\,x\in R$ άρα και

{f}''(x)>0

λόγω (1) επομένως

κυρτή ή $f(x)<0,\,\,\,\,x\in R$ άρα και {f}''(x)<0

λόγω (1) επομένως

κοίλη

Γ. Αφού f(0)=1>0

θα είναι και $f(x)>0,\,\,\,\,x\in R$ και {f}''(x)>0

δηλαδή η

κυρτή και επειδή η εφαπτομένη της

στο $(0,\,\,f(0))$ είναι η $y-1={f}'(0)(x-0)\Leftrightarrow y=x+1$ τα σημεία της γραφικής παράστασης της

θα είναι πάνω από τα

σημεία της εφαπτομένης εκτός του σημείου επαφής δηλαδή θα ισχύει ότι $f(x)\ge x+1,\,\,\,\,x\in R$ άρα και $0<\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{x+1},\,\,\,\,x>0$

και αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,0=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}=0$ σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής

θα ισχύει ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$ και αφού $f(x)>0,\,\,\,\,x\in R$ θα είναι

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

Μαθηματικά και Φιλικά
Βασίλης

#7

Δ) Λόγω της θετικότητος των f, f', f''

έχουμε από τη δοθείσα:

$\displaystyle{{\left( {\frac{{f''(x)}}{{f'(x)}}} \right)^2} = \frac{{f'(x)}}{{f(x)}} \Rightarrow \frac{{f''(x)}}{{f'(x)}} = \sqrt {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} \Rightarrow \frac{{f''(x)}}{{\sqrt {f'(x)} }} = \frac{{f'(x)}}{{\sqrt {f(x)} }} \Rightarrow \sqrt {f'(x)} = \sqrt {f(x)} + c}$

Εύκολα, λόγω των συνθηκών προκύπτει c=0.

Επομένως:

$\displaystyle{\sqrt {f'(x)} = \sqrt {f(x)} \Rightarrow f'(x) = f(x),\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x) = c'{e^x},\forall x \in \mathbb{R}}$

από γνωστή σχολική εφαρμογή.

Πάλι, λόγω των συνθηκών πολύ εύκολα έχουμε c'=1.

Επομένως $f(x)=e^x,\forall x\in\mathbb{R}.$

konstantogeo · #8

να δούμε και το γ) με αυτό τον τρόπο;
Εχουμε δείξει ότι $f^{\prime\prime}(x)>0$ αρα $f^{\prime}(x){\nearrow}$
Για x>1 (αφού ψάχνουμε στο + ${\propto }$ ) έχουμε
$f^{\prime}(x)>f^{\prime}(1){\Leftrightarrow}$
$f^{\prime}(x)-f^{\prime}(1)$ >0 ${\Leftrightarrow }$
$(f(x)-x f^{\prime}(1))^{\prime}$ >0
αρα g(x)=f(x)- $x f^{\prime}(1){\nearrow}$
Για χ>0: g(x)>g(0) ${\Leftrightarrow }f(x)-x f^{\prime}(1)>f(0)$
f(x)>x $f^{\prime}(1)+f(0)$
Παίρνοντας ${\lim _ {x\rightarrow\propto }}$ έχουμε το ζητούμενο

Μονοτονία-κυρτότητα

Μονοτονία-κυρτότητα

Re: Μονοτονία-κυρτότητα

Re: Μονοτονία-κυρτότητα

Re: Μονοτονία-κυρτότητα

Re: Μονοτονία-κυρτότητα

Re: Μονοτονία-κυρτότητα

Re: Μονοτονία-κυρτότητα

Re: Μονοτονία-κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση