2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Το συνημμένο περιέχει 20 προτάσεις σε περιληπτική μορφή των 2 σελίδων που αφορούν τα πολυώνυμα. Υπάρχουν και 7 ασκήσεις που τις έχουμε ξαναδεί αλλά είναι βασικές για την κατανόηση των προηγούμενων προτάσεων. Κυρίως όμως είναι όμορφες
1. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε
2. Να βρείτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε
3. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε το να είναι παράγοντας του
4.Αν οι ρίζες του πολυωνύμου p είναι όλες απλές και πραγματικές να δείξετε
a)και
b) το πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες
5. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα ώστε για κάθε να ισχύει
( ασχοληθείτε με όρια και βαθμούς. Πιθανόν και με παραγωγίσεις)
6. .Αν βαθ(p)=άρτιος τότε το p έχει ολικό ακρότατο
7.Αν οι ρίζες του πολυωνύμου είναι όλες απλές και πραγματικές να δείξετε ότι οι ρίζες του είναι πραγματκές για οποιαδποτε πραγματική τιμή του Εδώ θα βοηθούσαν λίγα πράγματα για μιγαδικούς
1. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε
2. Να βρείτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε
3. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε το να είναι παράγοντας του
4.Αν οι ρίζες του πολυωνύμου p είναι όλες απλές και πραγματικές να δείξετε
a)και
b) το πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες
5. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα ώστε για κάθε να ισχύει
( ασχοληθείτε με όρια και βαθμούς. Πιθανόν και με παραγωγίσεις)
6. .Αν βαθ(p)=άρτιος τότε το p έχει ολικό ακρότατο
7.Αν οι ρίζες του πολυωνύμου είναι όλες απλές και πραγματικές να δείξετε ότι οι ρίζες του είναι πραγματκές για οποιαδποτε πραγματική τιμή του Εδώ θα βοηθούσαν λίγα πράγματα για μιγαδικούς
- Συνημμένα
-
- Πολυώνυμα Βασικές γνώσεις.doc
- (85 KiB) Μεταφορτώθηκε 190 φορές
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Έστω ότι το πολυώνυμο έχει βαθμό με καθώς αν το πρώτο μέλος είναι το μηδενικό πολυώνυμοR BORIS έγραψε: 1. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε
Τότε το έχει βαθμό και το έχει βαθμό .
Αφού ισχύει θα έχουμε ότι για τους βαθμούς ισχύει : .
Έστω με . Τότε και έτσι η ισότητα γίνεται :
Αφού από την (1) έχουμε και με αντικατάσταση στη (2) : και έτσι
Edit : Συμπλήρωσα τους περιορισμούς για το . Ευχαριστώ τον Γ. Καλαθάκη για την επισήμανση
Γιώργος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Αλλιώς:R BORIS έγραψε: 1. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε
Από την προκύπτει άρα
Στην πρώτη περίπτωση το είναι το μηδενικό, ενώ στη δεύτερη είναι
Τότε, η γράφεται δηλαδή
Τελικά
Μάγκος Θάνος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική, άρα με παραγώγιση της δοσμένης έχουμεR BORIS έγραψε: 2. Να βρείτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα ώστε
. Η σχέση ισχύει για κάθε άρα έχουμε
με και με αντικατάσταση
στη δοσμένη έχουμε .
Tελικά .
Γιώργος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Υποθέτουμε ότι υπάρχουν πολυώνυμα καιR BORIS έγραψε:5. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα ώστε για κάθε να ισχύει
( ασχοληθείτε με όρια και βαθμούς. Πιθανόν και με παραγωγίσεις)
με ώστε για κάθε να είναι .
Επειδή θα έχουμε ότι και .
Έχουμε
και οπότε , άτοπο.
Στράτης Αντωνέας
Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Να δώσω 3 λύσεις για το 3ο
Είναι με πολυώνυμο προφανώς 1ου βαθμού () και απο την εξίσωση μεγιστοβαθμίων και σταθερών άρα
1η λύση
παραγωγίζουμε
ξανά
ξανά
...
πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα έχουμε
2η λύση
Ομοια για
για λόγους συνέχειας άρα για εφαρμόζοντας η φορές τον κανόνα DLH και αφού βρισκουμε οπότε
3η λυση
όμοια
αν το είχε και άλλη ρίζα το θα είχε και αυτο ριζα , όχι την , λόγω Θ.Ρολλ. Από το πεπερασμένο πληθος ριζών του ας είναι η πλησιέστερη προς την Πάλι από Θ.Ρολλ θα υπήρχε μεταξύ των ρίζα του άρα πιο κοντά από την ατοπο
τότε και από τους μεγιστοβάθμιους
Είναι με πολυώνυμο προφανώς 1ου βαθμού () και απο την εξίσωση μεγιστοβαθμίων και σταθερών άρα
1η λύση
παραγωγίζουμε
ξανά
ξανά
...
πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα έχουμε
2η λύση
Ομοια για
για λόγους συνέχειας άρα για εφαρμόζοντας η φορές τον κανόνα DLH και αφού βρισκουμε οπότε
3η λυση
όμοια
αν το είχε και άλλη ρίζα το θα είχε και αυτο ριζα , όχι την , λόγω Θ.Ρολλ. Από το πεπερασμένο πληθος ριζών του ας είναι η πλησιέστερη προς την Πάλι από Θ.Ρολλ θα υπήρχε μεταξύ των ρίζα του άρα πιο κοντά από την ατοπο
τότε και από τους μεγιστοβάθμιους
Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
Λύση της 6
ΧΒΓ υποθέτουμε ότι
άρα για υπάρχει λοιπόν
ομοια υπάρχει
στο η έχει ως συνεχής έχει ΜΙΝ το
έστω Tότε με τιμή της συνάρτησης αρα ΜΙΝ
ΧΒΓ υποθέτουμε ότι
άρα για υπάρχει λοιπόν
ομοια υπάρχει
στο η έχει ως συνεχής έχει ΜΙΝ το
έστω Tότε με τιμή της συνάρτησης αρα ΜΙΝ
Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,
5.(χωρίς παραγώγους)
α.Αρχικά δείχνουμε ότι αρκεί
στην (απόδειξη χωρίς παραγώγους) όπου το και διαιρούμε με
από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε το ζητούμενο
β.Με ίδια επιχειρήματα όπως στην απόδειξη του strandon αν βαθμός (p)=deg(p) είναι ,
με
παίρνοντας όρια όταν
άτοπο
αποδειξη της ανισωσης
από Bernoulli παίρνοντας όρια καταλήγουμε στην όπου το προκύπτει τελικά όπου το και φτάσαμε στο ζητούμενο
α.Αρχικά δείχνουμε ότι αρκεί
στην (απόδειξη χωρίς παραγώγους) όπου το και διαιρούμε με
από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε το ζητούμενο
β.Με ίδια επιχειρήματα όπως στην απόδειξη του strandon αν βαθμός (p)=deg(p) είναι ,
με
παίρνοντας όρια όταν
άτοπο
αποδειξη της ανισωσης
από Bernoulli παίρνοντας όρια καταλήγουμε στην όπου το προκύπτει τελικά όπου το και φτάσαμε στο ζητούμενο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες