2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

#1

Το συνημμένο περιέχει 20 προτάσεις σε περιληπτική μορφή των 2 σελίδων που αφορούν τα πολυώνυμα. Υπάρχουν και 7 ασκήσεις που τις έχουμε ξαναδεί αλλά είναι βασικές για την κατανόηση των προηγούμενων προτάσεων. Κυρίως όμως είναι όμορφες

1. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{ p(x)}$ ώστε $\displaystyle{(p'(x))^2=p(x)}$

2. Να βρείτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{p(x) }$ ώστε $\displaystyle{xp'(x)=p(x)+x^2}$

3. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{p(x)}$ ώστε το $\displaystyle{p'(x)}$ να είναι παράγοντας του $\displaystyle{p(x) }$

4.Αν οι ρίζες του πολυωνύμου p είναι όλες απλές και πραγματικές να δείξετε
a) $\displaystyle{(ln|p(x|)'=p'(x)/p(x)=\frac{1}{x-r_1} +\frac{1}{x-r_2} + ...+\frac{1}{x-r_n},\forall x\in R-\{r_1,r_2,...,r_n\} }$ και
b) το πολυώνυμο $\displaystyle{p(x)p''(x)-(p'(x))^2}$ δεν έχει πραγματικές ρίζες

5. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα $\displaystyle{ p,q}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{x>0}$ να ισχύει
$\displaystyle{lnx=p(x)/q(x)}$ ( ασχοληθείτε με όρια και βαθμούς. Πιθανόν και με παραγωγίσεις)

6. .Αν βαθ(p)=άρτιος τότε το p έχει ολικό ακρότατο

7.Αν οι ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle{p}$ είναι όλες απλές και πραγματικές να δείξετε ότι οι ρίζες του $\displaystyle{p'(x)+mp(x)}$ είναι πραγματκές για οποιαδποτε πραγματική τιμή του $\displaystyle{m}$ Εδώ θα βοηθούσαν λίγα πράγματα για μιγαδικούς

Γιώργος Απόκης · #2

R BORIS έγραψε: 1. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{ p(x)}$ ώστε $\displaystyle{(p'(x))^2=p(x)}$

Έστω ότι το πολυώνυμο έχει βαθμό $\displaystyle{n}$ με $\displaystyle{{n\geq 1}$ καθώς αν $\displaystyle{n=0}$ το πρώτο μέλος είναι το μηδενικό πολυώνυμο

Τότε το $\displaystyle{p'(x)}$ έχει βαθμό $\displaystyle{n-1}$ και το $\displaystyle{(p'(x))^2}$ έχει βαθμό $\displaystyle{2(n-1)=2n-2}$ .

Αφού ισχύει $\displaystyle{(p'(x))^2=p(x)}$ θα έχουμε ότι για τους βαθμούς ισχύει : $\displaystyle{2n-2=n\Leftrightarrow n=2}$ .

Έστω $\displaystyle{p(x)=ax^2+bx+c}$ με $\displaystyle{a,b,c\in\mathbb R,~a\ne 0}$ . Τότε $\displaystyle{p'(x)=2ax+b}$ και έτσι η ισότητα γίνεται :

$\displaystyle{(2ax+b)^2=ax^2+bx+c\Leftrightarrow 4a^2x^2+4abx+b^2=ax^2+bx+c\Leftrightarrow \begin{cases} 4a^2=a~(1) \\4ab=b ~(2)\\b^2=c~(3) \end{cases}}$

Αφού $\displaystyle{a\ne 0}$ από την (1) έχουμε $\displaystyle{a=\frac{1}{4}}$ και με αντικατάσταση στη (2) : $\displaystyle{b=b\Leftrightarrow b\in\mathbb R}$ και έτσι

$\displaystyle{p(x)=\frac{1}{4}x^2+bx+b^2,~b\in\mathbb R}$

Edit : Συμπλήρωσα τους περιορισμούς για το $\displaystyle{n}$ . Ευχαριστώ τον Γ. Καλαθάκη για την επισήμανση

#3

R BORIS έγραψε: 1. Να βρειτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{ p(x)}$ ώστε $\displaystyle{(p'(x))^2=p(x)}$

Αλλιώς:

Από την $\displaystyle{(p'(x))^2=p(x)}$ προκύπτει $\displaystyle{2p'(x)p''(x)=p'(x),}$ άρα

$\displaystyle{p'(x)=0~\forall x~\vee p''(x)=\frac{1}{2}~\forall x}$

Στην πρώτη περίπτωση το $\displaystyle{p}$ είναι το μηδενικό, ενώ στη δεύτερη είναι $\displaystyle{p(x)=\frac{1}{4}x^2+ax+b.}$

Τότε, η $\displaystyle{(p'(x))^2=p(x)}$ γράφεται $\displaystyle{\frac{1}{4}x^2+ax+a^2=\frac{1}{4}x^2+ax+b,}$ δηλαδή $\displaystyle{b=a^2.}$

Τελικά $\displaystyle{p(x)=\frac{1}{4}x^2+ax+a^2.}$

Γιώργος Απόκης · #4

R BORIS έγραψε: 2. Να βρείτε όλα τα μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{p(x) }$ ώστε $\displaystyle{xp'(x)=p(x)+x^2}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{p}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb R}$ ως πολυωνυμική, άρα με παραγώγιση της δοσμένης έχουμε

$\displaystyle{p'(x)+xp''(x)=p'(x)+2x\Leftrightarrow xp''(x)=2x}$ . Η σχέση ισχύει για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb R }$ άρα έχουμε

$\displaystyle{p''(x)=2\Leftrightarrow p'(x)=2x+a\Leftrightarrow p(x)=x^2+ax+b}$ με $\displaystyle{a,b \in \mathbb R}$ και με αντικατάσταση

στη δοσμένη έχουμε $\displaystyle{x(2x+a)=x^2+ax+b+x^2\Leftrightarrow 2x^2+ax=2x^2+ax+b\Leftrightarrow b=0~\kappa a \iota~a\in \mathbb R}$ .

Tελικά $\displaystyle{p(x)=x^2+ax,~a\in \mathbb R}$ .

Ιστοσελίδα · #5

R BORIS έγραψε:5. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα $\displaystyle{ p,q}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{x>0}$ να ισχύει

$\displaystyle{lnx=p(x)/q(x)}$ ( ασχοληθείτε με όρια και βαθμούς. Πιθανόν και με παραγωγίσεις)

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν πολυώνυμα $p(x)=a_nx^n+\ldots +a_1x+a_0$ και $q(x)=b_mx^m+\ldots +b_1x+b_0$
με $a_nb_m\neq 0$ ώστε για κάθε x>0

να είναι $\ln x=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ .

Επειδή $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$ θα έχουμε ότι a_nb_m>0

και

.

Έχουμε $(\ln x)'=\left(\dfrac{p(x)}{q(x)}\right)' \Rightarrow \dfrac{1}{x}=\dfrac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q^2(x)} \Rightarrow$

$xp'(x)q(x)-xp(x)q'(x)=q^2(x) \Rightarrow$

$(n-m)a_nb_mx^{n+m}+\ldots +(a_1b_0-a_0b_1)x=b_m^2x^{2m}+\ldots +b_0^2$

και $(n-m)a_nb_m\neq 0 \; , \; b_m^2\neq 0$ οπότε $n+m=2m \Rightarrow n=m$ , άτοπο.

#6

Να δώσω 3 λύσεις για το 3ο

Είναι $\displaystyle{p=p'q}$ με $\displaystyle{q}$ πολυώνυμο προφανώς 1ου βαθμού ( $\displaystyle{Ax+B}$ ) και απο την εξίσωση μεγιστοβαθμίων και σταθερών $\displaystyle{A=1/n,B=a_0/a_1=(na_0/a_1)(1/n)=-b/n}$ άρα

1η λύση
$\displaystyle{np=p'(x-b)}$ παραγωγίζουμε
$\displaystyle{(n-1)p'=p''(x-b)}$ ξανά
$\displaystyle{(n-2)p''=p^{(3)}(x-b)}$ ξανά
...
$\displaystyle{p^{(n-1)}=p^{(n)}(x-b)}$

πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα έχουμε

$\displaystyle{n!p(x)=p^{(n)}(x)(x-b)^n\Rightarrow n!p(x)=n!(x-b)^n\Rightarrow p(x)=(x-b)^n}$

2η λύση
Ομοια $\displaystyle{np=p'(x-b)}$ για $\displaystyle{x\ne b}$
$\displaystyle{p'-n/(x-b)p=0\Rightarrow p'+((ln|x-b|)^{-n})'p=0\Rightarrow p((ln|x-b|)^{-n}=\begin{cases} &c_1 \text{ if } x>b \\ &c_2 \text{ if } x<b \\ &c \text{ if } x=b \end{cases}}$

για λόγους συνέχειας $\displaystyle{c_1=c_2=c}$ άρα $\displaystyle{p/(x-b)^n=c}$ για $\displaystyle{x\to b}$ εφαρμόζοντας η φορές τον κανόνα DLH και αφού $\displaystyle{p^{(n)}(x)=((x-b)^n)^{(n)}=n!}$ βρισκουμε $\displaystyle{c=1}$ οπότε $\displaystyle{p(x)=(x-b)^n}$

3η λυση

όμοια $\displaystyle{np=p'(x-b)}$

$\displaystyle{p(b)=0}$ αν το $\displaystyle{p}$ είχε και άλλη ρίζα το $\displaystyle{p'}$ θα είχε και αυτο ριζα , όχι την $\displaystyle{b}$ , λόγω Θ.Ρολλ. Από το πεπερασμένο πληθος ριζών του $\displaystyle{p'}$ ας είναι $\displaystyle{r}$ η πλησιέστερη προς την $\displaystyle{b}$ Πάλι από Θ.Ρολλ θα υπήρχε μεταξύ των $\displaystyle{r,b}$ ρίζα του $\displaystyle{p'}$ άρα πιο κοντά από την $\displaystyle{r}$ ατοπο

τότε $\displaystyle{p(x)=c(x-b)^n}$ και από τους μεγιστοβάθμιους $\displaystyle{c=1\Rightarrow p(x)=(x-b)^n}$

#7

Λύση της 6

ΧΒΓ υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty}$

άρα για $\displaystyle{x\ge x_1, \forall \epsilon>0\Rightarrow f(x)>\epsilon }$ υπάρχει λοιπόν $\displaystyle{a: f(x)>f(a),x\ge x_1}$

ομοια υπάρχει $\displaystyle{b: f(x)>f(b),x\le x_2}$

στο $\displaystyle{ [x_2,x_1]}$ η $\displaystyle{f}$ έχει ως συνεχής έχει ΜΙΝ το $\displaystyle{f(c)}$

έστω $\displaystyle{m=MIN\{f(a),f(b),f(c)\}}$ Tότε $\displaystyle{f(x)\ge m, \forall x\in R}$ με $\displaystyle{m}$ τιμή της συνάρτησης αρα ΜΙΝ

#8

5.(χωρίς παραγώγους)

α.Αρχικά δείχνουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{lnx}{x^n}}=0,n\in N*}$ αρκεί $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{lnx}{x}}=0}$

στην $\displaystyle{1-1/x\le lnx\le x-1}$ (απόδειξη χωρίς παραγώγους) όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{\sqrt{x}}$ και διαιρούμε με $\displaystyle{x}$

$\displaystyle{1/x-1/(x\sqrt{x})\le lnx/2x\le 1/\sqrt{x}-1/x}$ από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε το ζητούμενο

β.Με ίδια επιχειρήματα όπως στην απόδειξη του strandon αν βαθμός (p)=deg(p) είναι $\displaystyle{deg(p)\ge deg(q)+1 \Rightarrow }$ ,

$\displaystyle{p(x)=q(x)w(x)+v(x)\Rightarrow p(x)/q(x)=w(x)+v(x)/q(x)=a_nx^n+...+a_0+v(x)/q(x)\Rightarrow lnx/x^n=a_n+...+a_0/x^n+v(x)/q(x)x^n}$ με $\displaystyle{n\in N*,a_n\ne 0}$
παίρνοντας όρια όταν $\displaystyle{x\to +\infty}$
$\displaystyle{0=a_n+0}$ άτοπο

αποδειξη της ανισωσης

$\displaystyle{ (1+x/n)^n\to e^x}$ από Bernoulli $\displaystyle{ 1+x=1+n(x/n)\le(1+x/n)^n}$ παίρνοντας όρια καταλήγουμε στην $\displaystyle{e^x\ge 1+x}$ όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{lnx}$ προκύπτει $\displaystyle{lnx\le x-1}$ τελικά όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{1/x$ και φτάσαμε στο ζητούμενο

2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Re: 2 σελίδες με βασικές γνώσεις στα πολυώνυμα+εφαρμογές,

Μέλη σε σύνδεση