Μηδενική συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη τέτοια ώστε f(0)=0

και $|f'(x)|\leq |f(x)|, \; \forall x \in \mathbb{R}$ . Δείξτε ότι $f(x)=0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ .

Δεν έχω λύση.

#2

Σίγουρα όμως κάνει για Λύκειο;

Έχω μια απόδειξη που βασίζεται στο θεώρημα μέσης τιμής και στο ότι μια συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα είναι φραγμένη και λαμβάνει την μέγιστή της τιμή. Δεν ξέρω κατά πόσο το δεύτερο είναι γνωστό στο Λύκειο ή όχι.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Θα είχε ενδιαφέρον πολύ να δούμε λυκειακή αντιμετώπιση.

alexandrosvets · #4

Edit:Διέγραψα την λανθασμένη λύση έπειτα από ΠΣ του κυρίου Λάμπρου.

Tolaso J Kos · #5

Demetres έγραψε:Σίγουρα όμως κάνει για Λύκειο;

Έχω μια απόδειξη που βασίζεται στο θεώρημα μέσης τιμής και στο ότι μια συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα είναι φραγμένη και λαμβάνει την μέγιστή της τιμή. Δεν ξέρω κατά πόσο το δεύτερο είναι γνωστό στο Λύκειο ή όχι.

Δημήτρη, υπάρχει το θεώρημα που λέει πως αν μία συνάρτηση $f:[a, \beta] \rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής τότε λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη στο σχολικό βιβλίο της Γ, δηλ. $f([a, \beta])=[m , M]$ όπου

και

η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της

αντίστιχα. Θα θελα να δω την απόδειξη.

#6

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη τέτοια ώστε και $|f'(x)|\leq |f(x)|, \; \forall x \in \mathbb{R}$ . Δείξτε ότι $f(x)=0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ .
[/i]

Εξετάζοντας την f(-x)

στη θέση της f(x)

αρκεί να αποδείξουμε το ζητούμενο για $x\ge 0$ .

Δίνω δύο λύσεις (η πρώτη εκτός Λυκείου) αλλά ξέρω και τρίτη.

1) Αρκεί να δείξουμε το ζητούμενο σε τυχαίο διάστημα [0, A]

. Έστω

το μέγιστο της |f|

στο εν λόγω διάστημα. Είναι

$\displaystyle{|f(x)| = \left | \int _0^x f' (t)dt \right | \le \int _0^x \left | f' (t)\right |dt \le \int _0^x \left | f(t)\right |dt }$

$\displaystyle{ \le \int _0^x M dt = Mx}$

Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία με

στην θέση του

εύκολα δείχνουμε επαγωγικά ότι

$\displaystyle{|f(x)| \le \frac {Mx^n}{n!} }$ οπότε και

$\displaystyle{|f(x)| \le \frac {MA^n}{n!} \to 0}$ (αυτό είναι το εκτός Λυκείου κομμάτι), από όπου το ζητούμενο.

2) Αλλιώς: Έχουμε

$\displaystyle{ \left ( e^{-2x} f^2(x)\right ) ' = 2e^{-2x}\left ( f(x)f'(x) - f^2(x) \right ) \le 2e^{-2x}\left ( |f(x)f'(x)| - f^2(x) \right ) }$

$\displaystyle{ = 2e^{-2x}|f(x)|\left ( |f'(x)| - |f(x)| \right ) \le 0}$

Άρα η $\displaystyle{e^{-2x} f^2(x)}$ είναι φθίνουσα, οπότε $\displaystyle{e^{-2x} f^2(x)\le 1\cdot f^2(0)=0}$ , και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

#7

Και αλλιώς (που δεν είναι ο τρίτος τρόπος που ανέφερα παραπάνω) αλλά νομίζω καλύτερος:

Θα δείξουμε πρώτα ότι η

μηδενίζεται στο [0, 1/2]

.

Έστω M=|f(a)|

η μέγιστη τιμή της |f|

στο εν λόγω διάστημα. Από Rolle, δεδομένου ότι f(0)=0

, έχουμε

$0 \le M = |f(a)| = \left |\frac {f(a)-f(0)}{a-0} \right | a = |f'(\xi)| a \le |f(\xi)| a \le Ma \le \frac {M}{2}$ ,

οπότε M=0

, από όπου το ζητούμενο.

Κάνουμε τώρα ακριβώς την ίδια δουλειά στην $g(x) = f\left ( x+\frac {1}{2} \right)$ που με την σειρά της ικανοποιεί $|g'(x)| = \left |f'\left ( x+\frac {1}{2} \right) \right | \le \left |f\left ( x+\frac {1}{2} \right) \right | = |g(x)|$ και g(0) = f(1/2)=0

. Συμπεραίνουμε η g=0

στο

και άρα

στο

, που με το προηγούμενο είναι f=0

στο

. Επαγωγικά f=0

στα $[1, 3/2], \, [3/2, 2], \, ...$ και όμοια στα αρνητικά διαστήματα.

Φιλικά,

Μιχάλης

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε:Και αλλιώς (που δεν είναι ο τρίτος τρόπος που ανέφερα παραπάνω) αλλά νομίζω καλύτερος:

Αυτή ουσιαστικά ήταν και η δική μου λύση.

#9

Και αλλιώς, χάρην ποικιλίας και όχι απλότητας: Με χρήση της ιδιότητας $\displaystyle{ \left | \int _a^b g(t) \,dt \right | \le \int _a^b |g(t)| \,dt }$ των ολοκληρωμάτων, έχουμε

$\displaystyle{ \left (e^{-x} \int _0^x |f(t)| \,dt \right ) ' = e^{-x} \left (|f(x)| - \int _0^x |f(t)| \,dt \right )}$

$\displaystyle{ \le e^{-x} \left (|f(x)| - \int _0^x |f '(t)| \,dt \right )= e^{-x} \left (\left |\int _0^x f '(t) \,dt \right | - \int _0^x |f '(t)| \,dt \right )\le 0}$

Άρα η συνάρτηση αριστερά είναι φθίνουσα, οπότε για $x\ge 0$ έχουμε $\displaystyle{ e^{-x} \int _0^x |f(t)| \,dt \le \int _0^0 |f(t)| \,dt=0}$ .

Άρα $\displaystyle{ \int _0^x |f(t)| \,dt =0, \, \forall x \ge 0}$ , οπότε και $f(x)=0, \forall x \ge 0$ .

Για τα αρνητικά

εργαζόμαστε με την f(-x)

.

Φιλικά,

Μιχάλης

Tolaso J Kos · #10

κ. Μιχάλη

Ευχαριστώ πολύ για τις υπέροχες λύσεις !

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση