Με αφορμή το Γ1

#1

Αν η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια και κυρτή και $\displaystyle{f(0) = 0}$ τότε από κάθε σημείο $\displaystyle{A(0,k)}$ με $\displaystyle{k < 0}$ άγονται προς τη $\displaystyle{{C_f}}$
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την $\displaystyle{x = a}$ )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .

Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[ - a,a]}$
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)

Γιώργος Κοντογιάννης · #2

1) Αν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f(x) = - \sin x}$ έχουν συμμετρικές τετμημένες ως προς την ευθεία $\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}$ τότε οι εφαπτόμενες σε αυτά τα σημεία τέμνονται στην $\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}.}$
2) Από κάθε σημείο $\displaystyle{A\left(\frac{\pi}{2},a\right)}$ , με $\displaystyle{a\in \left[-\frac{\pi}{2},-1\right)}$ , άγονται δύο εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της

.

#3

Γιώργος Κοντογιάννης έγραψε:1) Αν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f(x) = - \sin x}$ έχουν συμμετρικές τετμημένες ως προς την ευθεία $\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}$ τότε οι εφαπτόμενες σε αυτά τα σημεία τέμνονται στην $\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}.}$
2) Από κάθε σημείο $\displaystyle{A\left(\frac{\pi}{2},a\right)}$ , με $\displaystyle{a\in \left[-\frac{\pi}{2},-1\right)}$ , άγονται δύο εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της .

Γιώργο καλωσόρισες στο

Σωστά όλα αυτά (με τη σχετική απόδειξη )
Το Γ1 έχει λυθεί ποικιλοτρόπως
Ψάχνω κάτι γενικότερο

mikemoke · #4

exdx έγραψε:Αν η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια και κυρτή και $\displaystyle{f(0) = 0}$ τότε από κάθε σημείο $\displaystyle{A(0,k)}$ με $\displaystyle{k < 0}$ άγονται προς τη $\displaystyle{{C_f}}$
είτε καμία είτε ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την $\displaystyle{x = a}$
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .

Θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε οτι για κάθε σημείου του χώρου κάτω από την

και πάνω από τις 2 ακρέες εφαπτομένες (αν υπάρχουν άκρα) άγονται προς τη $\displaystyle{{C_f}}$ ακριβώς δύο εφαπτόμενες

#5

exdx έγραψε:Το Γ1 έχει λυθεί ποικιλοτρόπως
Ψάχνω κάτι γενικότερο

Αν και νομίζω ότι μέσα στα πολλά που έχουν ανέβει στο

κάπου θα υπάρχει.
Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ και δύο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό με την δεύτερη παράγωγο παντού θετική.
Έστω ένα σημείο , $\alpha <p<\beta$ τέτοιο ώστε να βρίσκεται
α) Πάνω από τις εφαπτομένες της στα σημεία της $A\left( \alpha ,f\left( \alpha \right) \right)$ και $B\left( \beta ,f\left( \beta \right) \right)$ .
β) Κάτω από την
Τότε από το άγονται ακριβώς δύο εφαπτομένες προς την .
Απόδειξη
Η τυχούσα εφαπτομένη της C_f

έχει εξίσωση $y=f^{\prime }\left( t\right) \left( x-t\right) +f\left( t\right)$ , $t\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ . Η υπόθεση για την θέση τoυ

μας δίνει ότι
$q>f^{\prime }\left( \alpha \right) \left( p-\alpha \right) +f\left( \alpha \right)$
$q>f^{\prime }\left( \beta \right) \left( p-\beta \right) +f\left( \beta \right)$
q<f(p)

Το πλήθος των εφαπτομένων που διέρχονται από το

καθορίζεται, κατ΄αρχήν από το πλήθος των λύσεων (ως προς

) της εξίσωσης
$q=f^{\prime }\left( t\right) \left( p-t\right) +f\left( t\right)$
δηλαδή των ριζών της συνεχούς
$r\left( t\right) =f^{\prime }\left( t\right) \left( p-t\right) +f\left( t\right) -q$
Είναι $r\left( \alpha \right)>0$ , $r\left( \beta \right)>0$ , r(p)>0

. Από το θεώρημα του Bolzano

έχουμε ότι η

έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε κάθε ένα από τα $(\alpha ,p),(p,\beta )$ . H παράγωγος της $r^{\prime }\left( t\right) =f^{\prime \prime }\left( t\right) \left( p-t\right) -f^{\prime }\left( t\right) +f^{\prime }\left( t\right) =f^{\prime \prime }\left( t\right) \left( p-t\right)$ έχει μοναδική ρίζα το

επομένως από το θεώρημα του Rolle δεν έχει άλλη ρίζα στα $(\alpha ,p),(p,\beta )$ .
Συνεπώς η

έχει ακριβώς δύο ρίζες $t_{1}<t_{2}$ . Λόγω της μονοτονίας της παραγώγου θα είναι $f^{\prime }\left( t_{1}\right) <f^{\prime }\left( t_{2}\right)$ άρα οι αντίστοιχες εφαπτομένες θα είναι διαφορετικές.
Άρα υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομένες.
Μαυρογιάννης
Edit
Δεν είχα δει όταν ξεκίνησα να γράφω, με πολλές διακοπές, την παρακάτω

mikemoke έγραψε: Θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε οτι για κάθε σημείου του χώρου κάτω από την και πάνω από τις 2 ακρέες εφαπτομένες (αν υπάρχουν άκρα) άγονται προς τη $\displaystyle{{C_f}}$ ακριβώς δύο εφαπτόμενες

Απολογούμαι. Το αφήνω για τον κόπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

exdx έγραψε:Αν η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια και κυρτή και $\displaystyle{f(0) = 0}$ τότε από κάθε σημείο $\displaystyle{A(0,k)}$ με $\displaystyle{k < 0}$ άγονται προς τη $\displaystyle{{C_f}}$
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την $\displaystyle{x = a}$ )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .

Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[ - a,a]}$
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)

Οχι δεν ισχύει.

Πάρε $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1}$ για $x\geq 0$

Για $x\leq 0$ f(x)=f(-x)

Ικανοποιεί τις προυποθέσεις και για k< -1

δεν ισχύει το συμπέρασμα.

Η ιδέα είναι απλή.

Στο $+\infty$ έχει ασύμπτωτη την y=x-1

οπότε εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη για τα θετικά.

(μια γραφική παράσταση το δείχνει)

Στα αρνητικά λειτουργεί η συμμετρία.

Σίγουρα μπορούμε να βάλουμε επιπλέον συνθήκες ώστε να ισχύει.

Από ότι βλέπω ο Νίκος έχει κάνει το πρόβλημα για κλειστό διάστημα.

#7

exdx έγραψε:Αν η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια και κυρτή και $\displaystyle{f(0) = 0}$ τότε από κάθε σημείο $\displaystyle{A(0,k)}$ με $\displaystyle{k < 0}$ άγονται προς τη $\displaystyle{{C_f}}$
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την $\displaystyle{x = a}$ )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .

Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[ - a,a]}$
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)

...στη γενίκευση του Γιώργη... ένας δρόμος..

Αν για κάποιο $\alpha >0$ οι $y-f(\alpha )={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y-f(-\alpha )={f}'(-\alpha )(x+\alpha )$ είναι οι εφαπτόμενες στα

$A(\alpha ,\,f(a)),\,\,{A}'(-a,\,\,f(-a))$ επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια η {f}'

είναι περιττή και οι εφαπτόμενες γίνονται

$y-f(\alpha )={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y-f(\alpha )=-{f}'(\alpha )(x+\alpha )$ ή

$y={f}'(\alpha )x+f(a)-\alpha {f}'(a),\,\,\,y=-{f}'(\alpha )x+f(a)-\alpha {f}'(a)$

που προφανώς τέμνονται πάνω στο {y}'y

στο σημείο $(0,\,\,f(a)-\alpha {f}'(a))$

Τώρα το $f(a)-\alpha {f}'(a)<0,\,\,\,\alpha >0$ γιατί στο διάστημα $[0,\,\,a]$ σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει

$\xi \in (0,\,a)$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(a)-f(0)}{a}=\frac{f(a)}{a}$ και επειδή $\xi <a$ και {f}'

γνήσια αύξουσα αφού η

κυρτή ,

ισχύει ότι ${f}'(\xi )<{f}'(a)\Leftrightarrow \frac{f(a)}{a}<{f}'(a)\Leftrightarrow f(a)<a{f}'(a)$

Αν τώρα υπάρχει και άλλο σημείο $B(\beta ,\,f(\beta )),\,\,a<\beta$ που η εφαπτόμενη σε αυτό

$y={f}'(\beta )x+f(\beta )-\beta {f}'(\beta )$ διέρχεται πάλι από το $(0,\,\,f(a)-\alpha {f}'(a))$ τότε θα ισχύει

$f(a)-\alpha {f}'(a)=f(\beta )-\beta {f}'(\beta )$ (1) που είναι άτοπο γιατί στο διάστημα $[a,\,\,\beta ]$ σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ.

υπάρχει $\xi \in (a,\,\beta )$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -a}$ και επειδή $a<\xi$ και {f}'

γνήσια αύξουσα θα ισχύει ότι ${f}'(\xi )<{f}'(\beta )\Leftrightarrow \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -a}<{f}'(\beta )$

$f(\beta )-f(a)<\beta {f}'(\beta )-\alpha {f}'(\beta )\Leftrightarrow f(\beta )-\beta {f}'(\beta )<f(a)-\alpha {f}'(\beta )$ λόγω της (1)

$f(\alpha )-\alpha {f}'(\alpha )<f(a)-\alpha {f}'(\beta )\Leftrightarrow -\alpha {f}'(\alpha )<-\alpha {f}'(\beta )\overset{a>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,{f}'(\alpha )>{f}'(\beta )$ που είναι άτοπο, και ανάλογα αν $-a<\beta <a,\,\,\beta <a$

Τώρα για το ότι ο αριθμός $f(a)-\alpha {f}'(a)<0,\,\,\,\alpha >0$ είναι οποιοσδήποτε αρνητικός…

μπορεί να υπάρχει και άλλος δρόμος...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Με αφορμή το Γ1

Με αφορμή το Γ1

Re: Με αφορμή το Γ1

Re: Με αφορμή το Γ1

Re: Με αφορμή το Γ1

Re: Με αφορμή το Γ1

Re: Με αφορμή το Γ1

Re: Με αφορμή το Γ1

Μέλη σε σύνδεση