Ποιο είναι το Σωστό;

pana1333 · #1

Καλημέρα. Θα ήθελα να ακούσω τις απόψεις σας στο παρακάτω

Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} x+1, &x<1 & \\ 2x+3, & x\geq 1 \end{Bmatrix}$ .

Ποιό είναι το σωστό;

α) H f γνησίως αύξουσα στο R
β) Η f γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 1\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left(1 , +\propto\right)$

Να δικαιολογήσετε την απαντησή σας.

Έγινε διόρθωση στα άκρα του διαστήματος απο 0 σε 1

#2

H f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ .

Δικαιολόγηση:

Θεωρώ τυχαία $x_1,x_2 \in\mathbb{R}$ με x_1<x_2

.

α) Αν x_1<x_2<1

τότε

διότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,1)$ .

β) Αν $1\leq x_1<x_2$ τότε f(x_1)<f(x_2)

διότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ .

γ) Αν $x_1<1\leq x_2$ τότε $f(x_1)<f(1)\leq f(x_2)$ διότι $f(x_1)<\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2<5= < f(1) \leq f(x_2)$ .

Άρα για τα τυχόντα $x_1,x_2 \in\mathbb{R}$ με x_1<x_2

ισχύει

. Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος

A.Spyridakis · #3

cretanman έγραψε: Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος

Και για του λόγου το αληθές, ας τη δούμε γραφικά.

PS Έχω δρόμο ακόμα, Μιχάλη...

Ιστοσελίδα · #4

Το πρόβλημα θα ήταν αν ο δεύτερος κλάδος στο γράφημα ήταν "πιο κάτω" από τον πρώτο κλάδο όπως τους βλέπουμε από αριστερά προς τα δεξιά...

pana1333 · #5

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας.

Υ.Σ

Πως θα δείχναμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R με το κριτήριο της πρώτης παραγώγου αφου η f δεν είναι συνεχής στο1; Μια τέτοια λύση δεν θα μας οδηγούσε λανθασμένα στην απάντηση β);

#6

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας.

Υ.Σ

Πως θα δείχναμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R με το κριτήριο της πρώτης παραγώγου αφου η f δεν είναι συνεχής στο1; Μια τέτοια λύση δεν θα μας οδηγούσε λανθασμένα στην απάντηση β);

Δε νομίζω. Αν εννοείς την πρόταση του σχολικού βιβλίου, σύμφωνα με την οποία, αν η συνάρτηση πρίν το $\displaystyle{x_{0}}$ είναι γν. αύξουσα, μετά το $\displaystyle{x_{0}}$ είναι γν. αύξουσα και η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_{0}}$ τότε η συνάρτηση είναι γν. αύξουσα σε όλο το διάστημα, απλώς εδώ δεν εφαρμόζεται. Δηλαδή, το ότι η συνάρτηση δεν είναι στο $\displaystyle{x_{0}}$ συνεχής δε σημαίνει ότι η συνάρτηση ΔΕΝ είναι γν. αύξουσα σε όλο το διάστημα.

pana1333 · #7

Όχι εννοώ να πέσεις στην "παγίδα" και να πεις η f συνεχής στο $\left(-\propto \right,1)$ με $f{'}\left(x \right)=1>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Η f συνεχής στο $\left(1 \right,+\propto)$ με $f{'}\left(x \right)=3>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Επομένως η f γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 1\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left(1 , +\propto\right)$

#8

pana1333 έγραψε:Όχι εννοώ να πέσεις στην "παγίδα" και να πεις η f συνεχής στο $\left(-\propto \right,1)$ με $f{'}\left(x \right)=1>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Η f συνεχής στο $\left(0 \right,+\propto)$ με $f{'}\left(x \right)=3>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Επομένως η f γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 0\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left(0 , +\propto\right)$

Μα και αυτό είναι σωστό. Αφού η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , θα είναι γνησίως αύξουσα και στο $\displaystyle{(-\infty,0)}$ και στο $\displaystyle{(0,+\infty).}$

pana1333 · #9

Οκ απλά όταν κάποιος δεν χρησιμοποιήσει τον ορισμό και πάρει απ'ευθείας το κριτήριο της παραγώγου και η ερώτηση είναι όπως την έθεσα αρχικά τότε δε θα θα πει ως σωστό το Β); Αυτό εννοώ παγίδα. Η αν δεν ήταν έτσι το ερώτημα και απλά η ερώτηση ήταν να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. Θα κατέληγε απο το κριτήριο της παραγώγου ότι η f γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 1\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left(1 , +\propto\right)$ τότε απο που θα έβγαινε το συμπέρασμα ότι η f γνησίως αύξουσα στο R; Ελπίζω να γίνομαι κατανοητός.....

pana1333 · #10

pana1333 έγραψε:Όχι εννοώ να πέσεις στην "παγίδα" και να πεις η f συνεχής στο $\left(-\propto \right,1)$ με $f{'}\left(x \right)=1>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Η f συνεχής στο $\left(1 \right,+\propto)$ με $f{'}\left(x \right)=3>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Επομένως η f γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 1\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left(1 , +\propto\right)$

Διορθώνω (τυπογραφικό)

Επομένως η f γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 1\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left(1 , +\propto\right)$

A.Spyridakis · #11

pana1333 έγραψε:Οκ απλά όταν κάποιος δεν χρησιμοποιήσει τον ορισμό και πάρει απ'ευθείας το κριτήριο της παραγώγου και η ερώτηση είναι όπως την έθεσα αρχικά τότε δε θα θα πει ως σωστό το Β); Αυτό εννοώ παγίδα.

Μα, όπως λέει και ο Θάνος, κι αυτό σωστό είναι.
Είναι βασικό και συνηθισμένο το ερώτημα σχετικά με τη μονοτονία ΣΥΝΟΛΙΚΑ μιας πολυκλαδικής συνάρτησης, της οποίας η μονοτονία είναι ίδια σε κάθε κλάδο...

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #12

pana1333 έγραψε: Ποιό είναι το σωστό;

α) H f γνησίως αύξουσα στο R
β) Η f γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 1\right)$ και γνησίως αύξουσα στο

Να δικαιολογήσετε την απαντησή σας.

Έγινε διόρθωση στα άκρα του διαστήματος απο 0 σε 1

Τι θα πεί ποιό είναι το σωστό; Και τα δύο είναι σωστά. Δηλαδή αν ισχυριζόταν κάποιος ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο $[10, +\propto)$ θα ήταν λάθος;
Όσον αφορά τον τρόπο αντιμετώπισης της άσκησης:
Η f είναι παραγωγίσιμη στο $\left(-\propto , 1\right)$ με f'(x)=1>0

. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto , 1\right)$ .
Η f είναι συνεχής στο $\left[1 , +\propto\right)$ και παραγωγίσιμη στο $\left(1 , +\propto\right)$ με f'(x)=2>0

. 'Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[1 , +\propto\right)$
Αν $x_1<1\leq x_2$ τότε x_1+1<2

δηλ.

και $2x_2+3\geq 5$ δηλ. $f(x_2)\geq 5$ άρα f(x_1)<f(x_2)

. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R

pastavr · #13

Με ποιο πρόγραμμα έγινε η γραφική παράσταση ;

Ποιο είναι το Σωστό;

Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Re: Ποιο είναι το Σωστό;

Μέλη σε σύνδεση