ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ και όχι μόνο

G.Tsikaloudakis · #1

Δίνεται η συνάρτηση.Να απόδείξετε ότι:

α. Δυο οποιεσδήποτε εφαπτομένες της f τέμνονται
β. για κάθε τιμή του α υπάρχει ακριβώς μια εφαπτομένη της f παράλληλη στον
άξονα x'x.

pana1333 · #2

G.Tsikaloudakis έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση: $f(x)=2e^{x}+x^{2}-\alpha x$

Να απόδείξετε ότι:

α. Δυο οποιεσδήποτε εφαπτομένες της f τέμνονται
β. για κάθε τιμή του α υπάρχει ακριβώς μια εφαπτομένη της f παράλληλη στον
άξονα x'x.

α. Έστω ότι υπάρχουν δύο που δεν τέμνονται. Τότε οι ευθείες θα είναι παράλληλες άρα θα υπάρχουν 2 σημεία $x_{1},x_{2}$ ώστε $f{'}\left(x_{1} \right)=f{'}\left(x_{2} \right)$ . Η συνάρτηση f παραγωγίσιμη με $f{'}\left(x \right)=2e^x+2x$ . Η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα (αφού f{''}>0

για κάθε x) άρα 1-1 άρα για κάθε $x_{1}\neq x_{2}$ είναι $f{'}\left(x_{1} \right)\neq f{'}\left(x_{2} \right)$ άτοπο, άρα οποιεσδήποτε δύο εφαπτομένες θα τέμνονται.

β. Η εξίσωση $f{'}\left(x \right)=0$ έχει μοναδική λύση για κάθε τιμή του α αφού η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα και έχει μια τουλάχιστον λύση (από σύνολο τιμών της f{'}

)

mathfinder · #3

Η f 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με $f'\left(x \right)=2e^{x}+2x-\alpha$ και $f"\left(x \right)=2e^{x}+2$ . α) Επειδή f"(x)>0 για κάθε x πραγματικό , η f΄ είναι γνησίως αύξουσα ,άρα και < 1-1> , άρα δεν υπάρχουν 2 εφαπτόμενες της f που να είναι παράλληλες . β) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f΄ που είναι το R , άρα για κάθε α πραγματικό υπάρχει μοναδικός $x_{0}\in R$ , ώστε $f'\left(x_{0} \right)=0$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

G.Tsikaloudakis · #4

[

Να απόδείξετε ότι:

α. Δυο οποιεσδήποτε εφαπτομένες της f τέμνονται
β. για κάθε τιμή του α υπάρχει ακριβώς μια εφαπτομένη της f παράλληλη στον
άξονα x'x.[/quote]

α. Έστω ότι υπάρχουν δύο που δεν τέμνονται. Τότε οι ευθείες θα είναι παράλληλες άρα θα υπάρχουν 2 σημεία $x_{1},x_{2}$ ώστε $f{'}\left(x_{1} \right)=f{'}\left(x_{2} \right)$ . Η συνάρτηση f παραγωγίσιμη με $f{'}\left(x \right)=2e^x+2x$ . Η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα (αφού f{''}>0

για κάθε x) άρα 1-1 άρα για κάθε $x_{1}\neq x_{2}$ είναι $f{'}\left(x_{1} \right)\neq f{'}\left(x_{2} \right)$ άτοπο, άρα οποιεσδήποτε δύο εφαπτομένες θα τέμνονται.

β. Η εξίσωση $f{'}\left(x \right)=0$ έχει μοναδική λύση για κάθε τιμή του α αφού η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα και έχει μια τουλάχιστον λύση (από σύνολο τιμών της f{'}

)[/quote]

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ και όχι μόνο

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ και όχι μόνο

Re: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ και όχι μόνο

Re: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ και όχι μόνο

Re: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ και όχι μόνο

Μέλη σε σύνδεση