Παράγωγος Σύνθετης

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

Άσκηση 3

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f_v (x) = x^{vx} ,x \in (0, + \infty )}$ , όπου $\displaystyle{v \in N^*}$
α) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης.
β) Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x^x + x^{2x} + ... + x^{vx} - v}}{{x - 1}}}$
γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{y = 2011x - 2010}$ είναι εφαπτομένη της συνάρτησης για μία κατάλληλη τιμή του v.

Φιλικά Χρήστος

Ωmega Man · #2

α. $\displaystyle{\bf f(x)=e^{\ln(x^{\nu x})}=e^{\nu x\ln(x)}\Rightarrow f'(x)=\nu(\ln(x)+1)e^{\nu x \ln(x)}}$

β. $\displaystyle{\bf\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^x+x^{2x}+\ldots +x^{\nu x}-\nu}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1} \left[(\ln(x)+1)e^{ x \ln(x)}+2(\ln(x)+1)e^{ 2x \ln(x)}+\ldots +\nu(\ln(x)+1)e^{ \nu x \ln(x)}\right]$

$\displaystyle{\bf = 1+2+3+\ldots+(\nu-1)+\nu=\frac{\nu(\nu+1)}{2}}$ .

γ. Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\bf y-1=2011(x-1)}$ , η $\displaystyle{\bf f_{\nu}(1)=1}$ ικανοποιείται και $\displaystyle{\bf f'(1)=2011\Rightarrow \nu (\ln(1)+1)e^{0}=2011\Rightarrow \nu=2011}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Ευχαριστώ Ωmega Man.

Ωραία η λύση σου.

Θα προτιμούσα μία λύση για το όριο,χωρίς χρήση L'Hospital μια και δεν έχει διδαχθεί ακόμη.

Φιλικά Χρήστος

#4

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε: Θα προτιμούσα μία λύση για το όριο,χωρίς χρήση L'Hospital μια και δεν έχει διδαχθεί ακόμη.

$\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{x^x+x^{2x}+\dots+x^{\nu x}-\nu }{x-1}=\lim_{x\to 1}\Big(\frac{x^x-1}{x-1}+\frac{x^{2x}-1}{x-1}+\dots+\frac{x^{\nu x}-1}{x-1}\Big)=}$ $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\Big(\frac{f_1(x)-f(1)}{x-1}+\frac{f_2(x)-f(1)}{x-1}+\dots+\frac{f_{\nu}( x)-f(1)}{x-1}\Big)=1+2+\dots+\nu=\frac{\nu(\nu+1)}{2}}$

Παράγωγος Σύνθετης

Παράγωγος Σύνθετης

Re: Παράγωγος Σύνθετης

Re: Παράγωγος Σύνθετης

Re: Παράγωγος Σύνθετης

Μέλη σε σύνδεση