Εξίσωση 2 μεταβλητών

PanosG · #1

Να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί x,y $\in R$ για τους οποίους ισχύει
(x^4+3)y^4-4(x^4+3)y+13x^4+40x+39=0

τους οποίους να βρείτε.

kwstas12345 · #2

Θεωρούμε την συναρτηση: $\displaystyle f\left(y \right)=\left(x^4+3 \right)y^{4}-\left(x^{4}+3 \right)y+13x^4+40x+39,y \in \mathbb{R}$

με παραγωγο: $\displaystyle f'\left(y \right)=4\left(x^4+3 \right)\left(y^3-1 \right)$ . Ακόμη $\displaystyle f'\left(y \right)=0\Leftrightarrow y=1$

από πίνακα προσήμου ολικό ελαχιστο στη θέση $\displaystyle y=1$ . Άρα: $\displaystyle f\left(y \right)\geqslant 10\left(x^4+4x+3 \right) \forall y \in \mathbb{R}$

Τώρα όμως θεωρώντας την $\displaystyle g\left(x \right)=x^4-4x+3$ με πρώτη παραγωγο: $\displaystyle g'\left(x \right)=4\left(x^{3}+1 \right)$

και $\displaystyle g'\left(x \right)=0\Leftrightarrow x=-1$ από πίνακα μονοτονιας πάλι έχουμε ολικό ελαχιστο στο

άρα $\displaystyle g\left(x \right)\geqslant 0$

Τελικά $\displaystyle f\left(y \right)\geqslant 0, \forall x,y,\in \mathbb{R}$ . Για να ισχύει θα πρέπει $\displaystyle \left(x,y \right)=\left(-1,1 \right)$

που είναι και μοναδικη.H ασκηση βγαινει και αν θεωρήσουμε συναρτηση δυο μεταβλητών και μελετήσουμε τα τοπικά ακροτατά της.

#3

Παναγιώτη, πολύ έξυπνη άσκηση
Η δοθείσα εξίσωση γράφεται
$y^4-4y+13= \frac {-40x}{x^4+3}$
Μελετώντας με τη βοήθεια της πρώτης παραγώγου τη συνάρτηση $f(y)=y^4-4y+13, y \in \mathbb{R}$ , βρίσκουμε ότι έχει ολικό ελάχιστο το 10, το οποίο παρουσιάζει στη θέση 1
Μελετώντας με τη βοήθεια της πρώτης παραγώγου τη συνάρτηση $g(x)= \frac {-40x}{x^4+3}, x\in \mathbb{R}$ , βρίσκουμε ότι έχει ολικό μέγιστο το 10, το οποίο παρουσιάζει στη θέση -1
Άρα για να αληθεύει η εξίσωση πρέπει και αρκεί (x,y)=(-1,1)

Φιλικά
Είδα ότι με πρόλαβε ο Κωστάκης. Πολύ χαίρομαι
Κρατώ τη δημοσίευση γιατί η λύση δεν είναι ακριβώς ίδια

PanosG · #4

s.kap έγραψε:Παναγιώτη, πολύ έξυπνη άσκηση
Η δοθείσα εξίσωση γράφεται
$y^4-4y+13= \frac {-40x}{x^4+3}$
Μελετώντας με τη βοήθεια της πρώτης παραγώγου τη συνάρτηση $f(y)=y^4-4y+13, y \in \mathbb{R}$ , βρίσκουμε ότι έχει ολικό ελάχιστο το 10, το οποίο παρουσιάζει στη θέση 1
Μελετώντας με τη βοήθεια της πρώτης παραγώγου τη συνάρτηση $g(x)= \frac {-40x}{x^4+3}, x\in \mathbb{R}$ , βρίσκουμε ότι έχει ολικό μέγιστο το 10, το οποίο παρουσιάζει στη θέση -1
Άρα για να αληθεύει η εξίσωση πρέπει και αρκεί
Φιλικά
Είδα ότι με πρόλαβε ο Κωστάκης. Πολύ χαίρομαι

Ακριβώς αυτόν το τρόπο είχα και εγω στο μυαλό μου. Η f έχει σύνολο τιμών το $[0,+\infty)$ και η g το [-10,10]

κ.ο.κ. Ευχαριστώ

#5

και άλλες ασκήσεις αυτής της τεχνικής μπορείτε να βρείτε στη σελίδα 155 (10Β18-10Β24)εδώ

Εξίσωση 2 μεταβλητών

Εξίσωση 2 μεταβλητών

Re: Εξίσωση 2 μεταβλητών

Re: Εξίσωση 2 μεταβλητών

Re: Εξίσωση 2 μεταβλητών

Re: Εξίσωση 2 μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση