Συμπεριφορά μιας κυρτής
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
Συμπεριφορά μιας κυρτής
Είναι γνωστό ότι μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο και η παράγωγός της να μηδενίζεται σε πολλά (έως άπειρα) σημεία.(Π.χ η ).
Αν όμως μιά δις παραγωγίσιμη στο συνάρτηση , είναι κυρτή στο μπορεί η μηδενισθεί σε περισσότερα του ενός σημεία;
ΕΙΚΑΣΙΑ 1: Αν μια συνάρτηση είναι δυό φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο , τότε η έχει το πολύ μία ρίζα.
ΕΙΚΑΣΙΑ 2: Η δεν μπορεί να είναι φραγμένη και κάτω και άνω , δηλαδή ένα τουλάχιστον από τα , στο +άπειρο ή στο -άπειρο , απειρίζεται.
Αν όμως μιά δις παραγωγίσιμη στο συνάρτηση , είναι κυρτή στο μπορεί η μηδενισθεί σε περισσότερα του ενός σημεία;
ΕΙΚΑΣΙΑ 1: Αν μια συνάρτηση είναι δυό φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο , τότε η έχει το πολύ μία ρίζα.
ΕΙΚΑΣΙΑ 2: Η δεν μπορεί να είναι φραγμένη και κάτω και άνω , δηλαδή ένα τουλάχιστον από τα , στο +άπειρο ή στο -άπειρο , απειρίζεται.
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τετ Δεκ 15, 2010 2:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
σύμφωνα με το σχολικό
1. φ κυρτή σημαίνει φ΄ γνήσια αύξουσα άρα η φ΄ έχει ο πολύ μια ρίζα άρα η φ(χ)=χ+ημχ για το σχολικό ΔΕΝ είναι κυρτή
2.αν φ κυρτή τότε έχει μη οριζόντια εφαπτομένη και βρίσκεται άνωθεν αυτής αν η κλίση της εφαπτομένης είναι θετική τότε η φ απειρίζεται θετικά στο άπειρο αλλιώς θετικά στο -άπειρο
1. φ κυρτή σημαίνει φ΄ γνήσια αύξουσα άρα η φ΄ έχει ο πολύ μια ρίζα άρα η φ(χ)=χ+ημχ για το σχολικό ΔΕΝ είναι κυρτή
2.αν φ κυρτή τότε έχει μη οριζόντια εφαπτομένη και βρίσκεται άνωθεν αυτής αν η κλίση της εφαπτομένης είναι θετική τότε η φ απειρίζεται θετικά στο άπειρο αλλιώς θετικά στο -άπειρο
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
Ροδόλφε
Ίσως δεν ήμουν σαφής. Δεν λέω ότι η είναι κυρτή. Απλά διατυπώνω την εικασία ότι , ενώ η μονοτονία μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης δεν ανατρέπεται παρά τους αλλεπάλληλους μηδενισμούς της πρώτης παραγώγου ,δεν μπορεί να συμβεί το ίδιο και για την κυρτότητα μια συνάρτησης (όχι της ασφαλώς), δηλαδή δεν υπάρχει κυρτή και δυό φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση g της οποίας η να μηδενίζεται περισσότερες από μία φορά.
Η δεύτερη ''εικασία'' είναι πλέον ''θεώρημα'' !!
Ίσως δεν ήμουν σαφής. Δεν λέω ότι η είναι κυρτή. Απλά διατυπώνω την εικασία ότι , ενώ η μονοτονία μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης δεν ανατρέπεται παρά τους αλλεπάλληλους μηδενισμούς της πρώτης παραγώγου ,δεν μπορεί να συμβεί το ίδιο και για την κυρτότητα μια συνάρτησης (όχι της ασφαλώς), δηλαδή δεν υπάρχει κυρτή και δυό φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση g της οποίας η να μηδενίζεται περισσότερες από μία φορά.
Η δεύτερη ''εικασία'' είναι πλέον ''θεώρημα'' !!
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
Η συνάρτηση έχει παράγωγο την γνησίως αύξουσα συνάρτηση
άρα είναι κυρτή ενώ η δεύτερη παράγωγος της μηδενίζεται άπειρες φορές.
Μαυρογιάννης
άρα είναι κυρτή ενώ η δεύτερη παράγωγος της μηδενίζεται άπειρες φορές.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
Αυτή σου κάνει;KARKAR έγραψε:δηλαδή δεν υπάρχει κυρτή και δυό φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση g της οποίας η να μηδενίζεται περισσότερες από μία φορά.
, έχει που είναι γνήσια αύξουσα (βλέπε την δεύτερη παράγωγο) πλην όμως η , αλλά μηδενίζεται άπειρες φορές.
Φιλικά,
Μιχάλης
Ουπς, με πρόλαβε ο Νίκος. Σημειώνω ότι στο πρώτο τεύχος του Δελτίου μας http://www.mathematica.gr/icosidodecahedron1.pdf, υπάρχει συζήτηση και σχήμα με τα ίδια αντιπαραδείγματα.
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
Οι επιπόλαιες εικασίες , καταρρίπτονται με πάταγο !!
Μιχάλη , Νίκο , Ροδόλφε , ευχαριστώ που απαντήσατε.
Μιχάλη , Νίκο , Ροδόλφε , ευχαριστώ που απαντήσατε.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
Αγαπητέ KARKAR,
μην θεωρείς ότι οι εικασίες που έκανες δεν είχαν πιαδαγωγικό όφελος.
Αντίθετα, είναι πολύ ενδιαφέροντα παραδείγματα για το ότι έχουμε
περιορισμένες εικονικές αναπαραστάσεις πολλών μαθηματικών εννοιών
και μόνο με αλγεβρικό τρόπο μπορούμε να διαπιστώσουμε τις πλάνες μας.
Συγκεντρώνω όλα αυτά τα αντιπαραδείγματα που έχουν δημοσιευθεί στο Φόρουμ
και ελπίζω να τα δημοσιεύσω σε ένα ενιαίο κείμενο με τα επιχειρήματα,
τα αντεπιχειρήματα, τις αντιρρήσεις, τα παραδείγματα και τα αντιπαραδείγματα των διαλόγων
προφανώς συνοδευμένα με τα ονόματα όσων συμμετέχουν στους αντίστοιχους διαλόγους.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
μην θεωρείς ότι οι εικασίες που έκανες δεν είχαν πιαδαγωγικό όφελος.
Αντίθετα, είναι πολύ ενδιαφέροντα παραδείγματα για το ότι έχουμε
περιορισμένες εικονικές αναπαραστάσεις πολλών μαθηματικών εννοιών
και μόνο με αλγεβρικό τρόπο μπορούμε να διαπιστώσουμε τις πλάνες μας.
Συγκεντρώνω όλα αυτά τα αντιπαραδείγματα που έχουν δημοσιευθεί στο Φόρουμ
και ελπίζω να τα δημοσιεύσω σε ένα ενιαίο κείμενο με τα επιχειρήματα,
τα αντεπιχειρήματα, τις αντιρρήσεις, τα παραδείγματα και τα αντιπαραδείγματα των διαλόγων
προφανώς συνοδευμένα με τα ονόματα όσων συμμετέχουν στους αντίστοιχους διαλόγους.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
Ανδρέα,Ανδρέας Πούλος έγραψε: Συγκεντρώνω όλα αυτά τα αντιπαραδείγματα που έχουν δημοσιευθεί στο Φόρουμ
και ελπίζω να τα δημοσιεύσω σε ένα ενιαίο κείμενο
το περιμένουμε με ανυπομονησία (*) γιατί ξέρουμε και την σοβαρή ενασχόλησή σου με αυτό το θέμα.
Το σχετικό σου βιβλίο είναι αδιάψευστος μάρτυρας.
Φιλικά,
Μιχάλης
(*) ... μην τάξεις παιδιού.. Φυσικά, το παιδί είναι το mathematica.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Συμπεριφορά μιας κυρτής
Αγαπητέ Μιχάλη,
για το βιβλίο παρ΄ ότι αναφέρεται σαφώς στις ευχαριστίες,
για όσους δεν το ξέρουν, η συμβολή και η βοήθειά σου στην έκδοση ήταν καθοριστική.
Φυσικά, όλες οι αβλεψίες, ασάφειες και λογικά σφάλματα αφορούν μόνον εμένα.
Ευτυχώς, αρκετοί συνάδελφοι έχουν την ευγενή καλοσύνη να μου στέλνουν υποδείξεις βελτίωσης κλπ.
Πάντως, την υπόσχεσή μου θα την τηρήσω, επειδή με χαρά διαπιστώνω ότι αρκετοί φίλοι του Φόρουμ
δημοσιεύουν απλόχερα και χωρίς ιδιοτέλεια εργασίες που απαιτούν χρόνο και δουλειά για να ολοκληρωθούν.
Και στο κάτω - κάτω εδώ δημοσιεύει ο Αντώνης ο Σπυριδάκης που είναι 86 ετών
και εμείς που είμαστε νέα παιδιά θα καθόμαστε με σταυρωμένα χέρια.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
για το βιβλίο παρ΄ ότι αναφέρεται σαφώς στις ευχαριστίες,
για όσους δεν το ξέρουν, η συμβολή και η βοήθειά σου στην έκδοση ήταν καθοριστική.
Φυσικά, όλες οι αβλεψίες, ασάφειες και λογικά σφάλματα αφορούν μόνον εμένα.
Ευτυχώς, αρκετοί συνάδελφοι έχουν την ευγενή καλοσύνη να μου στέλνουν υποδείξεις βελτίωσης κλπ.
Πάντως, την υπόσχεσή μου θα την τηρήσω, επειδή με χαρά διαπιστώνω ότι αρκετοί φίλοι του Φόρουμ
δημοσιεύουν απλόχερα και χωρίς ιδιοτέλεια εργασίες που απαιτούν χρόνο και δουλειά για να ολοκληρωθούν.
Και στο κάτω - κάτω εδώ δημοσιεύει ο Αντώνης ο Σπυριδάκης που είναι 86 ετών
και εμείς που είμαστε νέα παιδιά θα καθόμαστε με σταυρωμένα χέρια.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες