Θ.Μ.Τ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Θ.Μ.Τ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Δευ Δεκ 27, 2010 7:09 pm

Με αφορμή την συζήτηση εδώ φτιάξαμε με τον κ. Νικολόπουλο Αθανάσιο (τον οποίο και ευχαριστώ πολύ για την συνεργασία) ένα φυλλάδιο που περιέχει γενικές περιπτώσεις για τον τρόπο που θα βρίσκουμε τα διαστήματα εφαρμογής του Θ.Μ.Τ. Θα πρότεινα για εμπλουτισμό του φυλλαδίου να συμμετάσχει και όποιος άλλος θέλει και έχει χρόνο είτε με την συμπλήρωση κάποιων θεωρητικών περιπτώσεων είτε με την παραπομπή κάποιων λυμένων ασκήσεων για κάθε μία απο τις περιπτώσεις που βρίσκονται στο φυλλάδιο....

Ξεκινάω με την Περίπτωση 1

Δίνεται η συνάρτηση f\left(x \right)=\sqrt{1-x}.
1) Να εξετάσετε την συνάρτηση ως προς την παραγωγισιμότητα και
2) να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ στο \left[0,1 \right].

Αναμένω την λύση σας και την πρόταση της δεύτερης ασκησης που αφορά την περίπτωση 2
Συνημμένα
ΘΜΤ.doc
(159 KiB) Μεταφορτώθηκε 360 φορές


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Θ.Μ.Τ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από chris_gatos » Τρί Δεκ 28, 2010 1:43 am

Αν και δεν καταλαβαίνω(μάλλον λόγω κούρασης και ώρας) τι ακριβώς ζητάτε Χρήστο θα δώσω μία λύση

και θα πάω για...ύπνο :sleeping:

Πεδίο ορισμού για την f το (-οο,1] (αρκεί \displaystyle{
1 - x \le 0
})

Για κάθε x στο (-οο,1) η f παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων \displaystyle{
\sqrt x ,1 - x
}
με
\displaystyle{
f'(x) = \frac{{(1 - x)'}}{{2\sqrt {1 - x} }} =  - \frac{1}{{2\sqrt {1-x} }},\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right)
}
Εξετάζω για x=1.
Είναι:

\displaystyle{
f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ -  } \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ -  } \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ -  } \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{ - \sqrt {(1 - x)^2 } }} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ -  } \frac{1}{{\sqrt {1 - x} }} =  - \infty 
}
αφού

\displaystyle{
\begin{array}{l}
 \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ -  } \sqrt {1 - x}  = 0 \\ 
 \sqrt {1 - x}  > 0,x \to 1^ -   \\ 
 \end{array}
}
Συνεπώς η f δεν είναι παραγωγίσιμη.

β)Η f αυνεχής στο [0,1] ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο (0,1) συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του

Θ.Μ.Τ, αρα υπάρχει κ στο (0,1) με

\displaystyle{
f'(\kappa ) = \frac{{f(1) - f(0)}}{1} = \frac{{0 - 1}}{1} =  - 1 \Rightarrow  - \frac{1}{{2\sqrt {1 - \kappa } }} =  - 1 \Rightarrow ...1 - \kappa  = \frac{1}{4} \Rightarrow \kappa  = \frac{3}{4}
}

Καληνύχτα...


Χρήστος Κυριαζής
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Θ.Μ.Τ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από pana1333 » Τρί Δεκ 28, 2010 1:55 am

chris_gatos έγραψε:Αν και δεν καταλαβαίνω(μάλλον λόγω κούρασης και ώρας) τι ακριβώς ζητάτε Χρήστο θα δώσω μια λύση.

Καληνύχτα...


Φαντάστηκα ήταν προφανές. Αλλά μάλλον δεν ήταν. οκ. Το συνημμένο αρχείο που έχω παραθέσει έχει κάποιες περιπτώσεις εφαρμογής του Θ.Μ.Τιμής σε κατάλληλο διάστημα και είπα να δίναμε διάφορες ασκήσεις στο Θ.Μ.Τ για κάθε περίπτωση του φυλλαδίου. Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση. Καληνύχτα και απο εμένα.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης