Λάθος χρήση θ. Fermat

venpan · #1

Εστω $f(x)=\alpha(x+1)^2$ . Να βρείτε το α ώστε $\alpha(x+1)^2\geq0$ για κάθε $x\in\Re$ .

Δεν επιλέγω την προφανή λύση

Εχω $f(x)\geq f(-1)$
άρα f '(-1)=0

2α.0=0
άρα $\alpha\in\Re$

ενώ $\alpha\geq0$

Βενάρδος Παντελής

#2

smarpant έγραψε: 2α.0=0
άρα $\alpha\in\Re$
ενώ $\alpha\geq0$

Όχι, δεν βγαίνει το συμπέρασμα ότι το

είναι ο οποισδήποτε πραγματικός. Απλά βγαίνει ότι το γινόμενο του

επί 0 κάνει 0 (πράγμα που το ξέραμε έτσι και αλλιώς) και τίποτα άλλο.
Για να γίνει πιο κατανοητό, ας υποθέσουμε ότι είχαμε μία κατάσταση που κατέληγε στην ισότητα $5\cdot0=0$ . Αυτό δεν σημαίνει, βέβαια, ότι το 5 είναι ίσο με οποιονδήποτε πραγματικό. Ο 5 παραμένει 5, ότι και να κάνουμε. Στο παραπάνω, ο

παραμένει θετικός, ότι και να κάνουμε.

Μ.

johnbausis · #3

smarpant έγραψε:Εστω $f(x)=\alpha(x+1)^2$ . Να βρείτε το α ώστε $\alpha(x+1)^2\geq0$ για κάθε $x\in\Re$ .

Δεν επιλέγω την προφανή λύση

Εχω $f(x)\geq f(-1)$ 1
άρα
2α.0=0
άρα $\alpha\in\Re$
ενώ $\alpha\geq0$

Βενάρδος Παντελής

venpan · #4

Σκοπός μου είναι τονίσω τον λάθος τρόπο λύσης σε πολλά βιβλία. Με την συνθήκη f '(-1)=0

δεν ξεχωρίζεις μέγιστο ή ελάχιστο απόπου προκύπτει και το λάθος

johnbausis · #5

Mα η συνθήκη που χρησιμοποιείς f (x)>=f(-1) ισχύει μόνο για α>=0

#6

smarpant έγραψε:Σκοπός μου είναι τονίσω τον λάθος τρόπο λύσης σε πολλά βιβλία. Με την συνθήκη δεν ξεχωρίζεις μέγιστο ή ελάχιστο απόπου προκύπτει και το λάθος

Όχι, δεν προκύπτει από κει το λάθος (*). Το από που προκύπτει το εξήγησα.

Μ.

(*) διότι είτε μέγιστο είναι είτε ελάχιστο, το f '(-1)

κάνεi 0, οπότε $2a\cdot0=0$

venpan · #7

Αν η άσκηση ζητούσε να έχουμε ακρότατο στο -1 η απάντηση θα ήταν α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός. Ετσι δικαιολογείται η λάθος απάντηση. Αρα δεν αρκεί σαν συνθήκη για την άσκηση όπως διατυπώθηκε στην αρχή. Πρέπει να ελέγξεις αν πράγματι έχεις ελάχιστο. Το παράδειγμα είναι ''χοντρό'' για να δείξει το λάθος που γράφεται συχνά. Εννοείται ότι η απάντηση είναι προφανής από την αρχή...

#8

Όχι! Επιμένω, το λάθος είναι στον συλλογισμό και μάλιστα στο συμπέρασμα ότι από το $a\cdot0=0$ έπεται ότι το

είναι οποιοσδήποτε πραγματικός (το αντίστροφο είναι το σωστό).

Αν και η εξήγησή μου είναι σαφής, θα γράψω μία παραλλαγή της που δείχνει γιατί ο συλλογισμός είναι εσφαλμένος.

Πες ότι το αρχικό πρόβλημα ήταν "να βρεθούν όλα τα

έτσι ώστε $(a^2+25)(x+1)^2 \ge 0$ για κάθε

.

Ακολουθώντας τα ίδια βήματα θα καταλήγαμε στο συμπέρασμα $2(a^2+25)\cdot0=0$ .
Από εδώ δεν βγαίνει το συμέρασμα ότι ο

είναι ο οποισδήποτε πραγματικός. Π.χ. ΠΟΤΕ δεν θα μπορούσε να είναι 2(a^2+25)= 2

ή αλλιώς

.

Μ.

venpan · #9

πως λύνεται η εξίσωση α.0=0; Δεν έχει απάντηση α οποιοσδήποτε πραγματικός; Στην $(\alpha^2+1).0=0$ η απάντηση είναι ότι το $\alpha^2+1$ μπορεί να πάρει όλες τις ''δυνατές'' τιμές του άρα α οποιοσδήποτε πραγματικός

#10

smarpant έγραψε:πως λύνεται η εξίσωση α.0=0; Δεν έχει απάντηση α οποιοσδήποτε πραγματικός; Στην $(\alpha^2+1).0=0$ η απάντηση είναι ότι το $\alpha^2+1$ μπορεί να πάρει όλες τις ''δυνατές'' τιμές του άρα α οποιοσδήποτε πραγματικός

Κάνεις το ίδιο λογικό σφάλμα, δηλαδή μπλέκεις τις ικανές με τις αναγκαίες συνθήκες. Δεν συζητάμε την λύση της εξίσωσης. Συζητάμε για τις αναγκαίες συνθήκες για το

( ή το

), όχι τις ικανές.
Επειδή εξήγησα με σαφήνεια το θέμα δεν μπορώ να επανέλθω. Ας κρίνουν οι αναγνώστες.

Μ.

venpan · #11

1. Αν η $f(x)=\alpha(x+1)^2$ παρουσιάζει ακρότατο στο χ=-1 να βρείτε το α

για χ=-1 έχω ακρότατο $\Rightarrow f '(-1)=0\Leftrightarrow 2\alpha.0=0\Leftrightarrow a\in\Re$
Αντίστροφα διαπιστώνουμε ότι για κάθε $\alpha\in\Re$ η f έχει ακρότατο

2. Αν $f(x)=\alpha(x+1)^2\geq0$ για κάθε $x\in\Re$ να βρείτε το α

για χ=-1 έχω ελάχιστο $\Rightarrow$ ακρότατο $\Rightarrow f '(-1)=0\Leftrightarrow 2\alpha.0=0\Leftrightarrow a\in\Re$
Αντίστροφα ελάχιστο έχω μόνο όταν $\alpha\geq0$

#12

Φίλε smarpant,

ας μου επιτραπεί να μπω και γω στη συζήτηση που ξεκίνησες (αν και δε πιστεύω ότι θα πω κάτι περισσότερο από τον Μιχάλη).

Καταρχάς, διαφωνώ με τον τίτλο "Λάθος χρήση του θεωρήματος Fermat". Το θεώρημα εφαρμόστηκε σωστά και μας είπε τελικά ότι $\displaystyle{a\cdot 0=0}$ (κάτι το οποίο φυσικά γνωρίζουμε).
Δηλαδή ο αριθμός $\displaystyle{a}$ , για τον οποίο θέλουμε να ισχύει η αρχική ιδιότητα, είναι τέτοιος που $\displaystyle{a\cdot 0=0.}$ (1)
Τώρα, επειδή η (1) ικανοποιείται από όλους τους πραγματικούς, δε σημαίνει πως και η αρχική συνθήκη θα ικανοποιείται από όλους τους πραγματικούς (εδώ υπάρχει λογικό σφάλμα.)

venpan · #13

Ακριβώς το ίδιο λέω από την αρχή. Οτι χρησιμοποιούν το θεώρημα για να στηρίξουν έναν λανθασμένο συλλογισμό. Οχι ότι είναι λάθος η ίδια του η χρήση. Δεν έγραψα ''λάθος η χρήση του Fermat''. Το λάθος είναι στο ότι ελάχιστο $\Rightarrow$ και όχι $\Leftrightarrow$ . Βλέέτε ότι δεν υπάρχει πρόβλημα με την πρώτη διατύπωση της άσκησης.Γι αυτό θέλει προσοχή η χρήση θ.Fermat. Η χρήση του (όπως λύνονται και οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου) έχει και άλλα προβλήματα τα οποία θα παρουσιάσω με παραδείγματα για συζήτηση.

#14

smarpant έγραψε:Σκοπός μου είναι τονίσω τον λάθος τρόπο λύσης σε πολλά βιβλία. Με την συνθήκη δεν ξεχωρίζεις μέγιστο ή ελάχιστο απόπου προκύπτει και το λάθος

.

To θέμα το έχουμε κουβεντιάσει σε βάθος σε άλλο μήνυμα, αρκετά παλιότερα όμως. Το πνεύμα του ερωτήματος που έβαλε ο συνάδελφος έγινε κατανοητό και είναι ενδιαφέρον.
α) Αν το ερώρημα είναι '' βρείτε τις τιμές του α, ώστε .... '' , τότε χρειάζεται ΠΑΝΤΑ επαλήθευση, διότι η συνθήκη του Fermat είναι αναγκαία και όχι ικανή.Απλά εδώ το παράδειγμα δεν ήταν ίσως το πιο αντιπροσωπευτικό.
β) Αν η μορφή της άσκησης είναι '' αν ισχύει .... για κάθε χ στο Δ , να αποδείξετε ότι α= .. '' , τότε με την εύρεση του α που ζητείται η άσκηση τελειώνει.
(Σε αυτή την περίπτωση την ευθύνη για το αν το α που ζητείται είναι το κατάλληλο την έχει ο συντάκτης και όχι ο λύτης. Έτσι, στην άσκηση : '' Αν $a^x \leq x+1$ για κάθε αριθμό χ, να αποδείξετε ότι a=e

'', η απόδειξη τελειώνει με την εφαρμογή του Fermat. To γεγονός ότι αυτή η τιμή a=e, δεν κάνει, ούτε υπάρχει τέτοια τιμή για το α, είναι άλλη υπόθεση. Η απόδειξη όμως θεωρείται ολοκληρωμένη. Αν στην ίδια άσκηση μας ζητούσαν να βρούμε το α, τότε την τιμή a=e θα έπρεπε να την επαληθεύσουμε και φυσικά θα την απορρίπταμε κάνοντας τα γνωστά με τα ακρότατα κλπ ).
Χτύπησε κουδούνι .............
Μπάμπης

Ιστοσελίδα · #15

smarpant έγραψε:Εστω $f(x)=\alpha(x+1)^2$ . Να βρείτε το α ώστε $\alpha(x+1)^2\geq0$ για κάθε $x\in\Re$ .

Δεν επιλέγω την προφανή λύση

Εχω $f(x)\geq f(-1)$
άρα
2α.0=0
άρα $\alpha\in\Re$
ενώ $\alpha\geq0$

Βενάρδος Παντελής

Επίσης εμφαίνεται γιατί πρέπει να επιμένουμε να χρησιμοποιούμε την απλούστερη μέθοδο λύσης (εδώ την προφανή) ! Πάντα λέω στους μαθητές ότι συνήθως "δε χρειάζεται να χρησιμοποιήσεις κομπρεσέρ για να ανοίξεις κουμπότρυπα σε πουκάμισο" και αυτό ακριβώς αποτελεί ένα κριτήριο για την κομψότητα μίας λύσης.

hsiodos · #16

smarpant έγραψε:Εστω $f(x)=\alpha(x+1)^2$ . Να βρείτε το α ώστε $\alpha(x+1)^2\geq0$ για κάθε $x\in\Re$ (1)

Δεν επιλέγω την προφανή λύση

Εχω $f(x)\geq f(-1)$
άρα
2α.0=0
άρα $\alpha\in\Re$
ενώ $\alpha\geq0$

Βενάρδος Παντελής

Φίλε Παντελή

Μήπως από την δοσμένη σχέση (1) προκύπτει κάποιος περιορισμός για το α ; Γιατί δεν τον λαμβάνεις υπ ' όψη σου;

Είναι άλλο το α στον τύπο της f από το α στον τύπο της f ' ;

Γιώργος

#17

polysot έγραψε:<...> "δε χρειάζεται να χρησιμοποιήσεις κομπρεσέρ για να ανοίξεις κουμπότρυπα σε πουκάμισο"

Πολύ ωραία φράση. Δεν την είχα ακούσει σε αυτή την μορφή, και μου αρέσει. Θα την χρησιμοποιώ.

Την είχα ακούσει πρώτα στα αγγλικά στην παραλλαγή της "you don't need a sledgehammer to brake a watch" (= "δεν χρειάζεσαι βαρυοπούλα για να χαλάσεις ένα ρολόι"), ενώ στα ελληνικά την ήξερα με το άκομψο "δεν θέλεις τουφέκι (ή χειροβομβίδα) για να σκοτώσεις μια μύγα".

Κομπρεσέρ λοιπόν.

Μ.

#18

Mihalis_Lambrou έγραψε: Την είχα ακούσει πρώτα στα αγγλικά στην παραλλαγή της "you don't need a sledgehammer to brake a watch"

Εγώ γνώριζα την παραλλαγή "using a sledgehammer to crack a nut" (=χρησιμοποίηση βαριοπούλας για το σπάσιμο καρυδιού.)

venpan · #19

φιλε Γιώργο
έγραψα στην αρχή ότι δεν ασχολούμαι με την προφανή λύση γιατί με ενδιαφέρει κάτι τόσο προφανές που ανατρέπεται από έναν τρόπο λύσης που χρησιμοποιείται στο σχολείο (όταν εφαρμόζεται απρόσεχτα). Προσπάθησα να κατασκευάσω μια άσκηση με ΧΟΝΤΡΟ σφάλμα στη λογική που περιέγραψε και ο Στεργίου. Δεν χρησιμοποίησα κομπρεσέρ για κουμπότρυπες κτλ Πρέπει να φωτίζουμε όλες τις πλευρές των συνηθειών μας. Ως γνωστόν: ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!!

ΑΣΚΗΣΗ: Μπορείτε να βρείτε οικογένεια συναρτήσεων με μια παράμετρο, με πχ ελάχιστο σε παραπάνω από ένα χ όπου για τα διάφορα χ στα οποία παρουσιάζει ακρότατο να δίνει διαφορετικές τιμές της παραμέτρου;

#20

smarpant έγραψε:.........................
ΑΣΚΗΣΗ: Μπορείτε να βρείτε οικογένεια συναρτήσεων με μια παράμετρο, με πχ ελάχιστο σε παραπάνω από ένα χ όπου για τα διάφορα χ στα οποία παρουσιάζει ακρότατο να δίνει διαφορετικές τιμές της παραμέτρου;

Επειδή έχει τύχει να με έχουν κατά καιρούς ρωτήσει συνάδελφοι για το ίδιο θέμα, ας πω κάτι εν τάχει :

Ας υποθέσουμε ότι βρίσκουμε μια τέτοια συνάρτηση. Από το θεώρημα Fermat θα πάρουμε μερικές αναγκαίες συνθήκες(μια για κάθε θέση τοπικού ακροτάτου) , η καθεμιά από τις οποίες θα δώσει μία ή περισσότερες τιμές για την παράμετρο. Αν όλες οι αναγκαίες αυτές σχέσεις δώσουν κοινή τιμή για την παράμετρο, συνεχίζουμε με τον τρόπο που έγραψα στο άλλο μήνυμα(με επαλήθευση κλπ, εφόσον πρόκειται για εύρεση). Αν όμως οι σχέσεις δεν συναληθεύουν, τότε η αρχική σχέση είναι αδύνατη και η άσκηση τελειώνει εκεί.

Μπάμπης

Λάθος χρήση θ. Fermat

Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Re: Λάθος χρήση θ. Fermat

Μέλη σε σύνδεση