ΑΑΑ-νίσωση

venpan · #1

Να αποδείξετε ότι $\ln(e-1)\cdot\ln(e+1)<1$ .

Βενάρδος Παντελής

#2

Αρκεί

, αρκεί

, το οποίο ισχύει.

Φιλικά

diomides · #3

Με ΘΜΤ δειχνω οτι $\frac{1}{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac{1}{x}$ .

Παιρνω το δεξι μερος για x=e

και το αριστερο για x=e-1

προκυπτουν δυο ομοιστροφες ανισοτητες $\ln(e+1)<\frac{e+1}{e}$ και $\ln(e-1)<\frac{e-1}{e}$ . Με πολ\σμο κατα μελη αυτων εχω $\ln(e+1)\cdot\ln(e-1)<1-\frac{1}{e^{2}}<1$ .

#4

smarpant έγραψε:Να αποδείξετε ότι ln(e-1).ln(e+1)<1

Είναι $e^7> 2,7^7>1024 = 2^{10}$ άρα $\ln 2 < \frac{7}{10}$ .

Άρα $\ln (e-1)\ln (e+1) < \ln 2 \ln 4 = 2 (\ln 2)^2 < 2\cdot (\frac{7}{10})^2= \frac{98}{100} <1$

M.

venpan · #5

Εστω $f(x)=\frac{ln(x-1)}{lnx}, x>2$ .
Είναι f'(x)>0

$ln(x-1).ln(x+1)<ln^{2}x$
Για x=e

το ζητούμενο

ΑΑΑ-νίσωση

ΑΑΑ-νίσωση

Re: ΑΑΑ-νίσωση

Re: ΑΑΑ-νίσωση

Re: ΑΑΑ-νίσωση

Re: ΑΑΑ-νίσωση

Μέλη σε σύνδεση