ΑΑΑ-νισότητα 3

venpan · #1

να αποδειχθεί
$ln(x+1)\geq \frac{4(\alpha -1)x}{\alpha (x+\alpha )}$
για κάθε $x\geq 0$ και για κάθε $\alpha >1$

Βενάρδος Παντελής

PanosG · #2

Για x = 0 η δοσμένη ισχύει θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε x > 0
Έστω f(x)=a(x+a)ln(x+1)-4(a-1)x

με

και

, τότε
$f'(x)=aln(x+1)+ \frac{a(x+a)}{x+1} -4(a-1)$ και
$f''(x)=\frac{a}{x+1}+\frac{a(a-1)}{(x+1)^2}>0$ για κάθε x> 0

και

Επομένως η

είναι γνησίως αύξουσα άρα
$\forall x> 0 \Leftrightarrow f'(x)>f'(0)=(a-2)^2\geq0$ . Αρα f αύξουσα για κάθε x>0

οπότε τελικά
$\forall x>0 \Leftrightarrow f(x)> f(0)=0$

#3

Χωρίς δεύτερη παράγωγο:

Θέτουμε $g(x)=ln(x+1)-\frac{4(a-1)x}{a(x+a)}$ οπότε $g'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{4(a-1)}{(x+a)^{2}}$ και το ζητούμενο προκύπτει από τις g(0)=0

και $g'(x)\geq0\Longleftrightarrow(x-a+2)^{2}\geq0$ .

[Η θετικότητα του a χρειάζεται για την συνέχεια της g, ενώ για a = 1 και 0 < a < 1 η ανισότητα είναι προφανής.]

Γιώργος Μπαλόγλου

ΑΑΑ-νισότητα 3

ΑΑΑ-νισότητα 3

Re: ΑΑΑ-νισότητα 3

Re: ΑΑΑ-νισότητα 3

Μέλη σε σύνδεση