Εύρεση f

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f : ( 0 , + $\displaystyle{\infty }$ ) $\displaystyle{ \to }$ R με f(1) = 0 και f΄(1) = 1 και τέτοια ώστε $\displaystyle{f''(x) \cdot {e^{2f(x)}} = - 1}$ για κάθε x > 0 . Να βρείτε την f .

mathxl · #2

Είναι $\displaystyle{f''(x)\cdot{e^{2f(x)}} = - 1}$ οπότε
$\displaystyle 2f''(x)f'\left( x \right) = - 2f'\left( x \right){e^{ - 2f(x)}} \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} \right]^\prime } = {\left[ {{e^{ - 2f(x)}}} \right]^\prime } \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = {e^{ - 2f(x)}} + c}$

για $\displaystyle{x = 1:1 = 1 + c \Leftrightarrow c = 0}$
λαμβάνουμε ισοδύναμα $\displaystyle{{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = {e^{ - 2f(x)}}}$
σχέση που μας δείχνει ότι η παράγωγος δεν έχει ρίζες και ως συνεχής θα διατηρεί πρόσημο, τουτέστιν θετική αφού στο 1 έχει θετική τιμή
Ισοδύναμα με ρίζες στα μέλη
$\displaystyle{f'\left( x \right) = {e^{ - f(x)}}}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\left( {{e^{f(x)}}} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime } \Leftrightarrow {e^{f(x)}} = x + c}$
για $\displaystyle{x = 1:1 = 1 + c \Leftrightarrow c = 0}$
και με αντικατάσταση λαμβάνουμε το τελικό αποτέλεσμα
$\displaystyle{{e^{f(x)}} = x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln x}$

Ο τύπος αυτός είναι δεκτός , διότι ικανοποιεί τις προυποθέσεις.

Προσθήκη: Αντικατέστησα με την λέξη οπότε $\displaystyle{\left( \Rightarrow \right)}$ την πρώτη ισοδυναμία που είχα ύστερα από ορθή επισήμανση του μέλους arisxat εδώ viewtopic.php?f=53&t=21939&p=111672#p111672

#3

Βάζω συνημμένα τη λύση του Βασίλη στην άσκηση που πρότεινε παραπάνω ο Χρήστος , μια και την έχω ήδη ετοιμάσει .

Μπάμπης

Εύρεση f

Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Μέλη σε σύνδεση