Δύσκολο ξ...

PanosG · #1

Έστω οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες:
Η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$
Η g είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$
και ισχύει για κάθε $x\geq0, g(x)=f(\sqrt{x})+f(-\sqrt{x})$
Τότε να αποδείξετε ότι για κάθε x_0>0

υπάρχει $\xi\in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε:
$g{'}(x_0^2)=f{''}(\xi)$

#2

Κάνουμε Rolle στην $\displaystyle{h(x)=f{'}(x)-x\frac{f{'}(x_{0})-f{'}(-x_{0})}{2x_{0}}}$ στο $\displaystyle{[-x_{0},x_{0}]}$ .

#3

στη δοθείσα όπου

το

και γίνεται: g(x^2)=f(x)+f(-x)

παραγωγίζοντας την τελευταία έχουμε : $2xg'(x^2)=f'(x)-f'(-x)\rightarrow2x_o g'(x_o^2)=f'(x_o)-f'(-x_o),\, x_0>0$

Στο [-x_0,x_0] εφαρμόζουμε ΘΜΤ για τη

και έχουμε $\displaystyle{\xi \in(-x_0,x_0) :f''(\xi)=\frac{f'(x_o)-f'(-x_o)}{2x_0}\rightarrow f''(\xi)=g'(x_o^2)}$

PanosG · #4

Τη λύση της Φωτεινής είχα κι εγώ υπόψην μου

Δύσκολο ξ...

Δύσκολο ξ...

Re: Δύσκολο ξ...

Re: Δύσκολο ξ...

Re: Δύσκολο ξ...

Μέλη σε σύνδεση