Υπαρξιακό και Μονοτονία

#1

...μία έμπνευση από μία ιδέα ενός διαγωνίσματος που έπεσε στα χέρια μου και βρήκα ενδιαφέρουσα...

Έστω οι συναρτήσεις $f,g\,:\,R\to R$ για τις οποίες ισχύει
$f(\ln x)+f(\frac{1}{x})=2f(g(x))$ για κάθε x>0

Αν

είναι

να δείξετε ότι
α) Υπάρχει ${{x}_{0}}\in (1,\,e)$ ώστε $\displaystyle{\ln {{x}_{o}}=\frac{1}{{{x}_{o}}}}$
β) $g({{x}_{0}})=\ln {{x}_{0}}$

γ) Αν επιπλέον $f,g\,$ παραγωγίσιμες στο

με ${f}'(x)\ne 0$ , ${g}'(x)\ne 0$ και {g}'

συνεχή για $x\in R$ να δείξετε ότι

γνήσια αύξουσα.

mathxl · #2

Ωραία άσκηση
ι. $\displaystyle{g\left( x \right) = x\ln x - 1,x \in \left[ {1,e} \right]}$
μπολζάνο
ιι.Θέτουμε στην δοθείσα όπου χ το χο και αξιοποιούμε το 1-1
ιιι.
Παραγωγίζουμε τα μέλη και έχουμε
$\displaystyle{\frac{{f'\left( {\ln x} \right)}}{x} - \frac{{f'\left( {\frac{1}{x}} \right)}}{{{x^2}}} = 2f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)}$
Για χ=χο παίρνουμε
$\displaystyle{g'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{x_0} - 1}}{{x_0^2}} > 0}$
και υποθ΄΄ετουμε ότι υπάρχει κ ώστε g'(k)<0 από μπολζάνο στην συνεχή g΄στο διάστημα που όρίζουν τα κ και χο παίρνουμε ρίζα και άτοπο, άρα για κάθε χ η παράγωγος της g είναι θετική

chris · #3

$\displaystyle \boxed{f(\ln x)+f\left(\frac{1}{x} \right) =2f(g(x)) ,\forall x \in (0,+\infty)}(1)$

A)
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle h(x)=lnx-\frac{1}{x},x \in [1,e]$ που είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών.

Είναι $\displaystyle h(1)=-1<0$ και $\displaystyle h(e)=1-\frac{1}{e}>0$ και άρα απο Θ.Bolzano υπάρχει $x_0 \in (1,e)$ τέτοιος ώστε:
$\displaystyle h(x_0)=0\Leftrightarrow lnx_0=\frac{1}{x_0}$

B)
H (1)

για

το

δίνει:
$\displaystyle f(lnx_0)+f\left(\frac{1}{x_0} \right)=2f(g(x_0))\Rightarrow 2f\left(lnx_0 \right)=2f\left(g\left(x_0 \right) \right)\Rightarrow f(lnx_0)=f(g(x_0))\stackrel{f("1-1")}\Rightarrow g(x_0)=lnx_0$

Γ)
Η

είναι συνεχής και ως μη μηδενιζόμενη διατηρεί πρόσημο άρα η

είναι γνησίως μονότονη.

Απο παραγώγιση της (1)

έχουμε:
$\displaystyle \frac{f'(lnx)}{x}-\frac{f\left(\frac{1}{x} \right)}{x^2}=2f'(g(x))\cdot g'(x)$

και άρα:
$\displaystyle \frac{f'(lnx_0)}{x_0}-\frac{f'\left(\frac{1}{x_0} \right)}{x_0^2}=2f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)\Rightarrow \frac{f'(lnx_0)}{x_0}-\frac{f'(lnx_0)}{x_0^2}=2f'(lnx_0)\cdot g'(x_0)\stackrel {f'(x)\neq 0}\Rightarrow g'(x_0)=\frac{x_0-1}{2x_0^2}>0$
καθώς x_0>1

και άρα $g'(x)>0,\forall x \in \mathbb{R}$ και η

είναι γνησίως αύξουσα.

ΥΓ:Βασίλη άσε και κανένα μη παοκτζή να σε προλάβει!

Υπαρξιακό και Μονοτονία

Υπαρξιακό και Μονοτονία

Re: Υπαρξιακό και Μονοτονία

Re: Υπαρξιακό και Μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση