Αχ αυτό το 2011

MANOLISMATHS · #1

Έστω συνάρτηση $f(x):[0,1]\to\mathbb{R}$

Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα του πεδίου ορισμού της και μας δίνεται
ότι f(0)=0 και f(1)=1
Nα αποδειχθεί οτι υπάρχουν 2011 διαφορετικά στοιχεία $[x_1,x_2,x_3,,,,,,,x_{2011}]$ τέτοια ώστε
$\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{1}{f'(x_2)}+\frac{1}{f'(x_3)}+...\frac{1}{f'(x_{2011})}=2011$

#2

Ουσιαστικά η ίδια άσκηση εδώ viewtopic.php?f=53&t=12877

k-ser · #3

Να δώσω μια γενίκευση;

Α.
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle g$ η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle [ 0,1]$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,1)$ με $\displaystyle g( 0)=0, g( 1)=1$
και οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle \mu_1, \mu_2,...\mu_{\nu}$ , για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle \mu_1+ \mu_2+...+\mu_{\nu}=\mu$ .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\displaystyle \xi_1, \xi_2,...\xi_{\nu} \in (0,1)$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle \frac{\mu_1}{g^{\prime}(\xi_1)}+\frac{\mu_2}{g^{\prime}(\xi_2)}+....+\frac{\mu_{\nu}}{g^{\prime}(\xi_{\nu})}=\mu$

B.
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle [ \alpha, \beta]$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle ( \alpha, \beta)$ με $\displaystyle f( \alpha) \ne f( \beta)$
και οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle \mu_1, \mu_2,...\mu_{\nu}$ , για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle \mu_1+ \mu_2+...+\mu_{\nu}=\mu$ .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\displaystyle \xi_1, \xi_2,...\xi_{\nu} \in (\alpha, \beta)$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle \frac{\mu_1}{f^{\prime}(\xi_1)}+\frac{\mu_2}{f^{\prime}(\xi_2)}+....+\frac{\mu_{\nu}}{f^{\prime}(\xi_{\nu})}=\mu\frac{\beta-\alpha}{f(\beta)-f(\alpha)}$

Απόδειξη

Α.
Εφόσον $\displaystyle \frac{\mu_1}{\mu} \in (0,1)$ , από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει $\displaystyle x_1 \in(0,1)$ ώστε $\displaystyle g(x_1)=\frac{\mu_1}{\mu}$ .
Εφόσον $\displaystyle \frac{\mu_1+\mu_2}{\mu} \in \left(\frac{\mu_1}{\mu},1\right)$ , από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει $\displaystyle x_2 \in(x_1,1)$ ώστε $\displaystyle g(x_2)=\frac{\mu_1+\mu_2}{\mu}$ .
Ομοίως.....
από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει $\displaystyle x_{\nu-1} \in(x_{\nu-2},1)$ ώστε
$\displaystyle g(x_{\nu-1})=\frac{\mu_1+\mu_2+....+\mu_{\nu-1}}{\mu}$ .

Από θεώρημα μέσης τιμή διαφορικού λογισμού θα υπάρχουν $\displaystyle \xi_k \in (x_{k-1},x_k), \ \ k=1,2,...,\nu$ , (με $\displaystyle \color{red} x_0=0, \ \ x_\nu=1$ ),
τέτοια ώστε:
$\displaystyle g^{\prime}(\xi_k)=\frac{g(x_k)-g(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}=\frac{\frac{\mu_k}{\mu}}{x_k-x_{k-1}}$

άρα

$\displaystyle \color{red} {\frac{\mu_k}{g^{\prime}(\xi_k)}=\mu(x_k-x_{k-1}), \ \ k=1,2,...,\nu}$ .

Αν τώρα πάρουμε το άθροισμα της παραπάνω σχέσης για $\displaystyle k=1,2,...,\nu$ έχουμε το ζητούμενο.

B.

Άμεση συνέπεια του Α αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{f\left( x(\beta-\alpha)+\alpha \right)-f(\alpha)}{f(\beta)-f(\alpha)}, \ \ x\in[0,1]$

Αχ αυτό το 2011

Αχ αυτό το 2011

Re: Αχ αυτό το 2011

Re: Αχ αυτό το 2011

Μέλη σε σύνδεση