Διαγωνισμα/2ωρο/επαναληπτικο έως ΘΜΤ

Ιστοσελίδα · #1

Χθες έγραψαν οι μαθητές των δύο τμημάτων της θετικής κατεύθυνσης του σχολείου δίωρο διαγώνισμα.
(Με τη συνάδελφο που διδάσκει στο άλλο τμήμα, δανειστήκαμε δύο ώρες και συμπτύξαμε τα δύο τμήματα)
Ύλη:
Θεωρία: μόνο από το κεφάλαιο των παραγώγων και μέχρι το ΘΜΤ
Ασκήσεις: Μιγαδικοί όρια συνέχεια παράγωγοι έως ΘΜΤ
Τα θέματα:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΩΣ ΘΜΤ

ΘΕΜΑ Α

Α1) Αν

μια συνάρτηση και $A\left( {{x_o}f({x_o})} \right)$ ένα σημείο της ${C_f}$ στο οποίο είναι παραγωγίσιμη, να δώσετε τον ορισμό της εφαπτομένης της ${C_f}$ στο σημείο

Μον_8
Α2) Να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία του θεωρήματος μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Μον_8
Α3) Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη σωστή ή λάθος: Μον_16
α) Μια συνάρτηση

, λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ${x_o}$ του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \frac{{f(x) - f({x_o}{\rm{)}}}}{{x - {x_o}}}}$
β) Αν μια συνάρτηση

δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${x_o}$ , τότε η

μπορεί να μην είναι συνεχής στο σημείο αυτό.
γ) Ισχύει ότι ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}$ για κάθε x > 0

δ) Μια συνάρτηση

λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ αν και μόνο αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{{\alpha {x^2} + x + 1}}{{\left( {1 + \alpha } \right)x + \alpha }}} \right)}$ $\displaystyle{x > 0}$ και $\displaystyle{\alpha \ge 0}$ . Ένα σημείο

κινείται στη γραφική παράσταση της

ώστε η τετμημένη του να μεταβάλεται με ρυθμό 2m/h

Β1 Για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\alpha }$ να βρείτε το $\displaystyle{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } f(x)}$ Μον_9
Β2. Έστω ότι $\displaystyle{\alpha = 0}$ .
α. Να μελετήσετε την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία. Μον_7
β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ . Μον_6
γ Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{1}{{x + 1}} < f\left( x \right) < \frac{1}{x}}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ Μον_7
δ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του

όταν αυτό διέρχεται από το σημείο με τετμημένη

Μον_5

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {\alpha ,\,\beta } \right] \to R}$ , η οποία είναι συνεχής στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ , παραγωγίσιμη στο $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ με $\displaystyle{f(\alpha ) \ne 0.}$ Δίνονται επίσης και οι μιγαδικοί $\displaystyle{{z_1} = \alpha + \beta i}$ και $\displaystyle{{z_2} = f(\alpha ) + if(\beta )}$ για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{{\left| {{z_1} - i{z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}}$
Γ1 Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} \in R}$ και $\displaystyle{\alpha f(\beta ) = \beta f(\alpha ).}$ Μον_9
Γ2 Nα αποδείξετε ότι $\displaystyle{{\left| {{z_1} + i{z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}}$ Μον_7
Γ3 Αν $\alpha < 0 < \beta$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f\left( x \right) = 0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ Μον_9
Γ4 Αν $\alpha > 0$ , να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της

έχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη που περνάει από την αρχή των αξόνων. Μον_9

Μίλτος Π.

Το Θέμα Β στηρίχτηκε σε ένα θέμα που δημοσίευσε πρόσφατα σε διαγώνισμά του ο Κώστας Σερίφης viewtopic.php?f=52&t=12204

Επειδή το αρχείο των θεμάτων δεν είναι το πρωτότυπο, ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος στην αντιγραφή.

Διαγωνισμα/2ωρο/επαναληπτικο έως ΘΜΤ

Διαγωνισμα/2ωρο/επαναληπτικο έως ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση