Περίεργη μίξη Γεωμετριας - Ανάλυσης

PanosG · #1

Αν είναι γνωστό ότι $lnx\leq x-1$ για κάθε x > 0 και Ε, R, τ είναι αντίστοιχα το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και τ η ημιπερίμετρος του, τότε να δείξετε ότι ισχύει
$\displaystyle 4e^3\cdot R\cdot E\leq e^{2\tau}$

#2

PanosG έγραψε:Αν είναι γνωστό ότι $lnx\leq x-1$ για κάθε x > 0 και Ε, R, τ είναι αντίστοιχα το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και τ η ημιπερίμετρος του, τότε να δείξετε ότι ισχύει
$\displaystyle 4e^3\cdot R\cdot E\leq e^{2\tau}$

Εφαρμόζουμε την ανισότητα $\displaystyle{\ln x\leq x-1}$ για τις πλευρές $\displaystyle{a,b,c}$ του τριγώνου, δηλαδή είναι

$\displaystyle{\ln a\leq a-1,}$

$\displaystyle{\ln b\leq b-1,}$

$\displaystyle{\ln c\leq c-1,}$

οπότε με πρόσθεση αυτών, βρίσκουμε

$\displaystyle{\ln (abc)\leq a+b+c-3}$ ,

δηλαδή $\displaystyle{\ln 4E\cdot R\leq 2\tau -3,}$

η οποία γράφεται ως

$\displaystyle{4ER\leq e^{2\tau -3},}$ η οποία είναι η ζητούμενη.

Περίεργη μίξη Γεωμετριας - Ανάλυσης

Περίεργη μίξη Γεωμετριας - Ανάλυσης

Re: Περίεργη μίξη Γεωμετριας - Ανάλυσης

Μέλη σε σύνδεση