Η ναυαγοσώστρια

KARKAR · #1

Η ναυαγοσώστρια Αλίκη , που βρίσκεται στη θέση

, βλέπει στη θέση

κινδυνεύοντα κολυμβητή.

Στις θέσεις $B,\Gamma ,\Delta , E$ , (που ισαπέχουν) βρίσκεται τοποθετημένο σωστικό υλικό , το οποίο πρέπει να πάρει μαζί της.

1) Αν η ταχύτητά της όταν τρέχει είναι διπλάσια από εκείνη που αναπτύσσει όταν κολυμπά , ποιά είναι η συντομότερη διαδρομή ;

2) Πόσο τουλάχιστον πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά της στην ξηρά (δεδομένου ότι δεν μπορεί να κολυμπήσει γρηγορότερα) ,

ώστε ακολουθώντας τη συντομότερη από τις

διαδρομές , να κολυμπήσει όσο γίνεται πιό λίγο ;

*Συμπλήρωση : Συντομότερη θεωρούμε τη διαδρομή ελαχίστου χρόνου , άλλωστε ο εναλλακτικός τίτλος είναι :

" Η ευθεία δεν είναι πάντα ο συντομότερος δρόμος"

parmenides51 · #2

ωραίο πρόβλημα

KARKAR έγραψε: " Η ευθεία δεν είναι πάντα ο συντομότερος δρόμος"

όταν οι ταχύτητες είναι άνισες

Γιώργος Απόκης · #3

Για το 1) Έστω

η ταχύτητα στο νερό, τότε στη στεριά είναι

.

Για τη διαδρομή $A\rightarrow B \rightarrow K$ είναι : $\displaystyle{t_{o\lambda}=t_{AB}+t_{BK}=\frac{a}{2v}+\frac{a\sqrt{13}}{v}=\frac{a}{v}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{13}\right)}$

Για τη διαδρομή $A\rightarrow \Gamma \rightarrow K$ είναι : $\displaystyle{t_{o\lambda}=t_{A\Gamma}+t_{\Gamma K}=\frac{a\sqrt{2}}{2v}+\frac{2a\sqrt{2}}{v}=\frac{a}{v}\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}}$

Για τη διαδρομή $A\rightarrow \Delta \rightarrow K$ είναι : $\displaystyle{t_{o\lambda}=t_{A\Delta}+t_{\Delta K}=\frac{a\sqrt{5}}{2v}+\frac{a\sqrt{5}}{v}=\frac{a}{v}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}}$

Για τη διαδρομή $A\rightarrow E \rightarrow K$ είναι : $\displaystyle{t_{o\lambda}=t_{AE}+t_{EK}=\frac{a\sqrt{10}}{2v}+\frac{2a}{v}=\frac{a}{v}\left(2+\frac{\sqrt{10}}{2}\right)}$ .

Ο μικρότερος χρόνος προκύπτει για τη διαδρομή $A\rightarrow \Delta \rightarrow K$ . (Θα επανέλθω με αναλυτική σύγκριση)

Γιώργος Απόκης · #4

Για τη σύγκριση:

Αφού το $\displaystyle{\frac{a}{v}}$ είναι σταθερό, ζητάμε το μικρότερο από τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{1}{2}+\sqrt{13},~\frac{5\sqrt{2}}{2},~\frac{3\sqrt{5}}{2},~2+\frac{\sqrt{10}}{2}}$ ή ισοδύναμα το μικρότερο των

$\displaystyle{x=1+2\sqrt{13},~y=5\sqrt{2},~z=3\sqrt{5},~w=4+\sqrt{10}}$ .

Έστω $x>y\Leftrightarrow (1+2\sqrt{13})^2>(5\sqrt{2})^2\Leftrightarrow 1+52+4\sqrt{13}>50\Leftrightarrow 4\sqrt{13}>-3$ που ισχύει. Άρα, ο

δεν είναι ο μικρότερος.

Ομοίως, δεν είναι ο

αφού $\displaystyle{w>z \Leftrightarrow (4+\sqrt{10})^2>(3\sqrt{5})^2 \Leftrightarrow 16+10+8\sqrt{10}>45\Leftrightarrow 8\sqrt{10}>19\Leftrightarrow 640>361}$ .

Έστω $y>z\Leftrightarrow (5\sqrt{2})^2>(3\sqrt{5})^2\Leftrightarrow 50>45$ που ισχύει άρα μικρότερος είναι ο

.

Η ναυαγοσώστρια

Η ναυαγοσώστρια

Re: Η ναυαγοσώστρια

Re: Η ναυαγοσώστρια

Re: Η ναυαγοσώστρια

Μέλη σε σύνδεση